《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

7 (2024·山西中考)如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD. 若∠AOD = 80°，则∠C的度数为(　　　)．
A. 30°　　B. 40°　　C. 45°　　D. 50°
　　　　　　　　　　　　　

答案： D

8 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD，连接AC，OD.
(1)求证：∠BOD = 2∠A；
　　　　　　　　　　　　　
(2)连接DB，过点C作CE⊥DB，交DB的延长线于点E，延长DO，交AC于点F. 若F为AC的中点，求证：直线CE为⊙O的切线.

答案：
(1)连接AD.
∵AB是⊙O的直径,AB⊥CD,
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴∠CAB=∠BAD.
∵∠BOD=2∠BAD,
∴∠BOD=2∠CAB.
(2)连接OC.
∵F为AC的中点,
∴DF⊥AC,
∴AD=CD,
∴∠ADF=∠CDF.
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,
∴∠CAB=∠DAB.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CDF=∠CAB.
∵OC=OD,
∴∠CDF=∠OCD,
∴∠OCD=∠CAB.
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠CAB=∠CDE,
∴∠CDE=∠OCD,
∴OC//DE.
∵∠E=90°,
∴∠OCE=90°,即OC⊥CE.
∵OC为⊙O的半径,
∴直线CE为⊙O的切线.

9 (2024·北京中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，OD平分∠AOC.
(1)求证：OD//BC；
(2)延长DO交⊙O于点E，连接CE交OB于点F，过点B作⊙O的切线交DE的延长线于点P. 若$\frac{OF}{BF}$ = $\frac{5}{6}$，PE = 1，求⊙O半径的长.
　　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)
∵OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC.
又∠B=$\frac{1}{2}$∠AOC,
∴∠AOD=∠B,
∴OD//BC.
(2)如图,连接AC.
∵OE//BC,
∴△OEF∽△BCF,
∴$\frac{OE}{BC}=\frac{OF}{BF}=\frac{5}{6}$.
设OE=5x,则BC=6x.
∵AO=OB,OH//BC,
∴AH=CH,
∴OH=$\frac{1}{2}$BC=3x.

∵PB是⊙O的切线,
∴∠OBP=90°,
∴∠PBO=∠AHO.
∵∠BOP=∠AOH,
∴△POB∽△AOH,
∴$\frac{PO}{AO}=\frac{OB}{OH}$,
∴$\frac{5x + 1}{5x}=\frac{5x}{3x}$,
∴x=$\frac{3}{10}$或x = 0(不合题意,舍去),
∴OE=$\frac{3}{2}$.
故⊙O半径的长为$\frac{3}{2}$.

10 跨学科　曲柄连杆机构　(2023·临沂罗庄区二模)在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”. 小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图(1)，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON. 当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图(2). 请仅就图(2)的情形解答下列问题.
(1)求证：∠PAO = 2∠PBO；
(2)若⊙O的半径为5，AP = $\frac{20}{3}$，求BP的长.

答案：

(1)如图,连接OP,设BO的延长线与⊙O交于点C.
∵AP与⊙O相切于点P,
∴∠APO=90°,
∴∠PAO+∠AOP=90°.
∵MO⊥CN,
∴∠AOP+∠POC=90°,
∴∠PAO=∠POC.
∵OP=OB,
∴∠OPB=∠PBO,
∴∠POC=∠OPB+∠PBO=2∠PBO,
∴∠PAO=2∠PBO.
(2)如图,过点P作PD⊥OC于点D.
在Rt△APO中,
AO=$\sqrt{AP^{2}+OP^{2}}=\frac{25}{3}$.

由
(1)可知,
∠POC=∠PAO,
∴Rt△POD∽Rt△OAP,
∴$\frac{PD}{OP}=\frac{PO}{OA}=\frac{OD}{AP}$,即$\frac{PD}{5}=\frac{5}{\frac{25}{3}}=\frac{OD}{\frac{20}{3}}$,
解得PD=3,OD=4.
在Rt△PDB中,
BP=$\sqrt{PD^{2}+DB^{2}}=\sqrt{3^{2}+9^{2}}=3\sqrt{10}$.
故BP的长为3$\sqrt{10}$.