《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1 (2024·河北邯郸期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：$y = ax^{2}-2ax+\frac{8}{3}$与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线l交抛物线于点B，P为抛物线的顶点.
(1)抛物线L的对称轴为直线x = ________；
(2)连接OP并延长交直线l于点Q.若点B恰为线段AQ的中点，则a的值为________.

答案：
(1)1 [解析]
∵抛物线为$y = ax^{2}-2ax+\frac{8}{3}$，
∴对称轴为直线$x = -\frac{-2a}{2a}=1$.
(2)2 [解析]
∵抛物线$y = ax^{2}-2ax+\frac{8}{3}(a＞0)$与$y$轴交于点$A$，
∴$A(0,\frac{8}{3})$，抛物线的对称轴为直线$x = 1$.
∴顶点$P$坐标为$(1,\frac{8}{3}-a)$，点$B$坐标为$(2,\frac{8}{3})$.
∵点$B$为线段$AQ$的中点，
∴点$Q$的坐标为$(4,\frac{8}{3})$.
设直线$OP$表达式为$y = kx$（$k$为常数，且$k\neq0$），
将点$P(1,\frac{8}{3}-a)$代入，得$\frac{8}{3}-a = k$，
∴$y = (\frac{8}{3}-a)x$.
将点$Q(4,\frac{8}{3})$代入，得$\frac{8}{3}=(\frac{8}{3}-a)\times4$，解得$a = 2$.

2 中考新考法 存在性问题 如图，直线AB过x轴上的点A(2,0)，且与抛物线$y = ax^{2}$相交于B，C两点，点B的坐标为(1,1).
(1)求直线AB和抛物线的函数表达式.
(2)在抛物线上是否存在一点D，使$S_{\triangle OAD}=S_{\triangle OBC}$？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点D的坐标.

答案：

(1)直线$AB$的表达式为$y = -x + 2$，
抛物线的表达式为$y = x^{2}$.
(2)如图，假设存在点$D(x,x^{2})$，使得$S_{\triangle OAD}=S_{\triangle OBC}$，
∴$S_{\triangle OAD}=\frac{1}{2}|OA|\cdot|y_{D}|=\frac{1}{2}\times2\times x^{2}=x^{2}$.
∵直线$AB$与抛物线交于点$C$，$B$，联立，得$\begin{cases}y = -x + 2\\y = x^{2}\end{cases}$，

解得$\begin{cases}x_{1}=1\\y_{1}=1\end{cases}$或$\begin{cases}x_{2}=-2\\y_{2}=4\end{cases}$.
∵$B(1,1)$，
∴$C(-2,4)$.
∴$S_{\triangle BOC}=S_{\triangle AOC}-S_{\triangle AOB}$
$=\frac{1}{2}\times2\times4-\frac{1}{2}\times2\times1 = 3$.
∵$S_{\triangle BOC}=S_{\triangle OAD}$，
∴$x^{2}=3$，
解得$x = \pm\sqrt{3}$.
∴点$D$的坐标为$(-\sqrt{3},3)$或$(\sqrt{3},3)$.

3 如图，已知抛物线$y = ax^{2}+bx + 3$与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，连接BC.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)若点P为线段BC上的一动点(不与B，C重合)，过点P作PM//y轴，交抛物线于点M，交x轴于点N，当$\triangle BCM$的面积最大时，求点P的坐标.
(3)在(2)的条件下，当$\triangle BCM$的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A，P，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

答案：
(1)依题意，得$\begin{cases}a - b + 3 = 0\\9a + 3b + 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1\\b = 2\end{cases}$，
∴抛物线的函数表达式为$y = -x^{2}+2x + 3$.
(2)设直线$BC$的表达式为$y = kx + m$，将点$B(3,0)$，$C(0,3)$代入，得$\begin{cases}3k + m = 0\\m = 3\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\m = 3\end{cases}$，
∴直线$BC$的表达式为$y = -x + 3$.
设点$P$的坐标为$(t,-t + 3)$，则点$M$的坐标为$(t,-t^{2}+2t + 3)$，
∴$PM = -t^{2}+2t + 3 + t - 3 = -t^{2}+3t$，
∴$S_{\triangle BCM}=S_{\triangle PMC}+S_{\triangle PMB}=\frac{1}{2}PM\cdot OB=\frac{1}{2}(-t^{2}+3t)\times3 = -\frac{3}{2}(t - \frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}$，
∴当$t = \frac{3}{2}$时，$\triangle BCM$的面积最大，此时，点$P$的坐标为$(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$.
(3)
∵$y = -x^{2}+2x + 3 = -(x - 1)^{2}+4$，
∴对称轴为直线$x = 1$.
当四边形$APDE$为平行四边形时，$AP// ED$，$AP = ED$.
∵$A(-1,0)$，$P(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$，
∴$x_{A}-x_{P}=x_{E}-x_{D}=-1-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$.
∵$x_{D}=1$，
∴$x_{E}=-\frac{3}{2}$，
∴$E(-\frac{3}{2},-\frac{9}{4})$；
当四边形$APED$为平行四边形时，$AP// DE$，$AP = DE$，
∴$x_{A}-x_{P}=x_{D}-x_{E}=-1-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$.
∵$x_{D}=1$，
∴$x_{E}=\frac{7}{2}$，
∴$E(\frac{7}{2},-\frac{9}{4})$；
当四边形$ADPE$为平行四边形时，$AE// DP$，$AE = DP$，
∴$x_{A}+x_{P}=x_{D}+x_{E}=-1+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$.
∵$x_{D}=1$，
∴$x_{E}=-\frac{1}{2}$，
∴$E(-\frac{1}{2},\frac{7}{4})$.
∴存在点$E$，使得以$A$，$P$，$D$，$E$为顶点的四边形为平行四边形，点$E$的坐标是$(-\frac{3}{2},-\frac{9}{4})$或$(\frac{7}{2},-\frac{9}{4})$或$(-\frac{1}{2},\frac{7}{4})$.

4 (2024·江门鹤山一模)抛物线P：$y = ax^{2}+bx+\frac{3}{2}$与x轴交于点A(-1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为D.
(1)求抛物线P的函数表达式和顶点D的坐标.
(2)如图，在坐标平面上放置一透明矩形胶片DEBF，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部(含边界)的一段，记为G，把该胶片绕点B顺时针旋转180°，得到矩形胶片D'E'B F'以及对应的图象G'.
①求旋转过程中G扫过的面积S；
②求图象G'所在的抛物线的函数表达式.

答案：

(1)把点$A(-1,0)$，$B(3,0)$代入$y = ax^{2}+bx+\frac{3}{2}$，
得$\begin{cases}a - b+\frac{3}{2}=0\\9a + 3b+\frac{3}{2}=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2}\\b = 1\end{cases}$，
∴抛物线$P$的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}+x+\frac{3}{2}$.
∵$y = -\frac{1}{2}x^{2}+x+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}(x - 1)^{2}+2$，
∴抛物线$P$的顶点$D$的坐标为$(1,2)$.
(2)①如图，连接$BD$，$BD'$.

由$B(3,0)$，$D(1,2)$，得$BE = OB - OE = 3 - 1 = 2$，$DE = 2$.
在$Rt\triangle BED$中，$BD^{2}=BE^{2}+DE^{2}=2^{2}+2^{2}=8$.
由旋转性质可知，$BD$与$G$围成的图形，和$BD'$与$G'$围成的图形全等，二者面积相等，
∴旋转过程中$G$扫过的面积，即图中$G$，$G'$与半圆围成的图形面积，等于以$DD'$为直径的半圆的面积，
∴$S=\frac{1}{2}\pi\cdot BD^{2}=\frac{1}{2}\pi\times8 = 4\pi$.
②由旋转性质可知，$D'E' = DE = 2$，$BE' = BE = 2$，
∴$OE' = OB + BE' = 3 + 2 = 5$，
∴点$D'$的坐标为$(5,-2)$.
设图象$G'$所在抛物线的函数表达式为$y = m(x - 5)^{2}-2$，代入点$B(3,0)$，得$4m - 2 = 0$，解得$m = \frac{1}{2}$，
∴图象$G'$所在抛物线的函数表达式为$y = \frac{1}{2}(x - 5)^{2}-2(3\leqslant x\leqslant5)$.