《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

18 新情境 数学与生活融合 某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示.真空集热管DE与支架CB所在直线相交于圆心O，点B，E都在圆O上，支架BC与水平地面AD垂直.AC = 45 cm，∠ADE = 30°，DE = 200 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD = 63.5°.(参考数据：$\sqrt{3}\approx1.73,\sin 63.5^{\circ}\approx0.9,\cos 63.5^{\circ}\approx0.45,\tan 63.5^{\circ}\approx2$)
(1)求支架AB和支架BC的长；
(2)求热水器容器的侧面圆心O到地面的距离.
　　　

答案：
(1)在$Rt\triangle ABC$中,$AC = 45cm,\angle BAD = 63.5^{\circ}$,
$\therefore BC = AC\cdot\tan63.5^{\circ}\approx45\times2 = 90(cm),AB=\frac{AC}{\cos63.5^{\circ}}\approx\frac{45}{0.45}=100(cm),\therefore$支架$AB$的长为$100\ cm$,支架$BC$的长为$90\ cm$.
(2)设$OB = OE = 2x\ cm$.
在$Rt\triangle ODC$中,$\angle ADE = 30^{\circ},\therefore OC=\frac{1}{2}OD=\frac{1}{2}(2x + 200)=(100 + x)cm$,
$\therefore BC = OC - OB = 100 + x - 2x=(100 - x)cm$.
在$Rt\triangle ABC$中,$BC = 90 = 100 - x$,
$\therefore x = 10,\therefore OB = 2x = 20\ cm$,
$\therefore OC = 90 + 20 = 110(cm)$,
$\therefore$热水器容器的侧面圆心$O$到地面的距离为$110\ cm$.

19 (2025·重庆八中期中)舞龙俗称舞龙灯，源自古人对龙的崇拜，每逢佳节人们都会舞龙，以此方式来祈求平安和丰收，春节前夕在某广场举行了一次舞龙表演，如图，表演场地在点C处，已知小明家A在表演场地C南偏西53°方向上.小明有两条路线去看表演，路线①：从小明家A穿过一公园D，再沿DC到达表演场地C，其中点D在点A的东北方向上，点C在点D的北偏东60°方向上且距离点D 1600米处；路线②：从小明家A出发沿正东方向到达十字路口B，再沿正北方向到达表演场地C.(A，B，C，D在同一平面内，参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41,\sqrt{3}\approx1.73,\sqrt{6}\approx2.45,\sin 37^{\circ}\approx\frac{3}{5},\cos 37^{\circ}\approx\frac{4}{5},\tan 37^{\circ}\approx\frac{3}{4}$)
(1)求小明家A到公园D的距离；(结果保留根号)
(2)小明和爸爸一起去看表演，他们计划19:30出门，爸爸选择路线①步行前往，步行的平均速度80 m/min，小明选择路线②骑自行车前往，骑车的平均速度是140 m/min，若表演正式开始的时间是20:00，小明和爸爸能否在表演正式开始前到达表演场地C，请通过计算说明理由.(结果保留1位小数)
　　　

答案：

(1)如图,过点$D$作$DE\perp AB$于点$E,DF\perp BC$于点$F$,

$\therefore\angle AED=\angle DEB=\angle BFD=\angle CFD = 90^{\circ}$,
由题意,得$\angle B = 90^{\circ},\angle GAD = 45^{\circ},\angle HDC = 60^{\circ}$,
$AG// HE// BC$,
$\therefore$四边形$DEBF$是矩形,$\angle ADE = 45^{\circ},\angle DCF = 60^{\circ}$,
$\therefore AE = DE = BF,DF = BE$.
$\because CD = 1600$米,
$\therefore CF = 1600\times\cos60^{\circ}=800$(米),$DF = 1600\times\sin60^{\circ}=800\sqrt{3}$(米),
$\therefore BE = DF = 800\sqrt{3}$米,
设$AE = x$米,则$BF = DE = x$米,
$\therefore AD=\sqrt{2}x$米,$AB=(800\sqrt{3}+x)$米,$BC=(x + 800)$米.
$\because\angle ACB = 53^{\circ},\angle B = 90^{\circ}$,
$\therefore\angle CAB = 37^{\circ},\therefore BC = AB\cdot\tan37^{\circ}$,
$\therefore x + 800=\frac{3}{4}(800\sqrt{3}+x)$,
$4x + 3200 = 3x + 2400\sqrt{3}$,
解得$x = 2400\sqrt{3}-3200$,
$\therefore AD=\sqrt{2}x=(2400\sqrt{6}-3200\sqrt{2})$米.
故小明家$A$到公园$D$的距离为$(2400\sqrt{6}-3200\sqrt{2})$米.
(2)$\because AE = BF=(2400\sqrt{3}-3200)$米,$BE = 800\sqrt{3}$米,
$CF = 800$米,
$\therefore AB + BC = 4800\sqrt{3}-6400 + 800 + 800\sqrt{3}=(5600\sqrt{3}-5600)$米.
由题意,得要想在演出前到达,在路上的时间应不超过$30$分钟. 小明爸爸需要的时间为$\frac{1}{80}(AD + CD)=\frac{1}{80}(2400\sqrt{6}-3200\sqrt{2}+1600)=30\sqrt{6}-40\sqrt{2}+20\approx37.1\ min＞30\ min$.
小明需要的时间为$\frac{AB + BC}{140}=\frac{5600\sqrt{3}-5600}{140}=40\sqrt{3}-40\approx29.2\ min＜30\ min$,
故小明爸爸不能赶在表演前到达,小明能在表演前到达.