《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

10 如图，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上.
　　　　　　　　　　　

答案：
如图，取BC的中点F，连接DF，EF.
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形.

∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线.
∴DF = EF = BF = CF.
∴E，B，C，D四点在以点F为圆心，$\frac{1}{2}$BC长为半径的圆上.

11（2023·江西中考）如图，点A，B，C，D均在直线上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）.
　　
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： D [解析]依题意，A，B；A，C；A，D；B，C；B，D；C，D加上点P可以分别画出一个圆，
∴共有6个.故选D.

12 中考新考法 “隐圆”问题（2024·安徽亳州期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA = OB = 4，点C为平面内一动点，BC = $\sqrt{5}$，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM∶AM = 1∶2，则OM的最大值为（ ）.
A. $\sqrt{5}$ B. $\frac{3\sqrt{5}}{2}$ C. $\frac{5\sqrt{5}}{3}$ D. 2$\sqrt{5}$
　　

答案：
D [解析]由题意知，点C为平面内一动点，BC = $\sqrt{5}$，即点C在以点B为圆心，$\sqrt{5}$为半径的圆上，在x轴负半轴取点N(-2,0)，连接CN，如图.

∵OA = OB = 4，AN = 6，
∴$\frac{OA}{AN}=\frac{2}{3}$.
∵CM:MA = 1:2，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{OA}{AN}$.
∵∠MAO = ∠CAN，
∴△AOM∽△ANC，
∴$\frac{OM}{NC}=\frac{AM}{AC}=\frac{2}{3}$，
∴当NC取得最大值时，OM取得最大值.
连接NB并延长，交⊙B于点C'，此时NC'取得最大值.
在Rt△BON中，NB = $\sqrt{2^{2}+4^{2}} = 2\sqrt{5}$，
∴NC' = 2$\sqrt{5}$ + $\sqrt{5}$ = 3$\sqrt{5}$，
∴OM的最大值为$\frac{2}{3}$×3$\sqrt{5}$ = 2$\sqrt{5}$.故选D.
思路引导　本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键.在x轴的负半轴上取点(-2,0)，利用相似三角形将OM的最大值进行转化即可解决问题.

13 如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来：________________.
　　

答案： △ABD，△ACD，△BCD [解析]由题图可知，OA = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，OB = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，OC = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，OD = $\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，OE = $\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，
∴OA = OB = OC = OD≠OE.
∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O.

14 已知直线l：y = x－4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P为直线l上一动点，当点P的坐标为________时，过点P，A，B不能作出一个圆.

答案： (2,-2)

15 中考新考法 新定义问题 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心. 例：已知PA = PB，则点P为△ABC的准外心(如图(1)所示).
(1)如图(2)，CD为正三角形ABC的高，准外心P在CD上，且PD = $\frac{1}{2}$AB，求∠APB的度数；
(2)如图(3)，若△ABC为直角三角形，∠C = 90°，AB = 13，BC = 5，准外心P在边AC上，试探究PA的长.
　

答案：
(1)①若PB = PC，连接PB，则∠PCB = ∠PBC.
∵CD为等边三角形的高，
∴AD = BD，∠PCB = 30°.
∴∠PBD = ∠PBC = 30°，
∴PD = $\frac{\sqrt{3}}{3}$DB = $\frac{\sqrt{3}}{6}$AB.
与已知PD = $\frac{1}{2}$AB矛盾，
∴PB≠PC.
同理，若PA = PC也不满足题意.
②若PA = PB，由PD = $\frac{1}{2}$AB，
得PD = BD = AD，
∴∠BPD = ∠APD = 45°.故∠APB = 90°.
(2)①若PB = PA，设PA = PB = x，
∵∠C = 90°，AB = 13，BC = 5，
∴AC = 12，则CP = 12 - x，
∴在Rt△PBC中，PB² = PC² + BC²，
即x² = (12 - x)² + 5²，
解得x = $\frac{169}{24}$，即PA = $\frac{169}{24}$；
②若PA = PC，则PA = 6；
③若PC = PB，不存在准外心P在边AC上.
综上所述，PA = $\frac{169}{24}$或6.
素养考向　本题运用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理，运算求解，主要考查了勾股定理以及三角形外心的性质等知识，以及推理能力和运算能力的核心素养.