《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

12 (2023·陕西模拟)如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且$\overset{\frown}{AC}=3\overset{\frown}{BC}$，则弦AC与弦BC的关系是(　　)．
A. AC=3BC
B. AC=$\sqrt{3}$BC
C. AC=($\sqrt{2}$+1)BC
D. $\sqrt{3}$AC=BC
　　 　　　

答案：
C　[解析]如图,过点O作OD⊥AB,交AC于点D，连接BD,OC.
∵⌢AC = 3⌢BC,
∴∠AOC = 135°，∠BOC = 45°.
∵OA = OC,
∴∠A=∠ACO=22.5°.
∵OD是AB的垂直平分线，
∴AD=BD,
∴∠A=∠ABD=22.5°,
∴∠CDB=45°.
　
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=(180°−45°)÷2=67.5°,
∴∠CBD=∠OBC−∠ABD=45°,
∴CD=CB.设CD=CB=x,则AD=BD=√2x,
∴BC/AC = x/(x + √2x) = 1/(√2 + 1)，
∴AC = (√2 + 1)BC.
　故选C.

13 (2024·自贡模拟)已知在扇形OAB中，∠AOB=90°，OB=4，C为弧AB的中点，D为半径OB上一动点，点B关于直线CD的对称点为M，若点M落在扇形OAB内(不含边界)，则OD长的取值范围是(　　)．


A. 4$\sqrt{2}$-4＜OD＜2$\sqrt{2}$
B. 2$\sqrt{2}$＜OD＜4$\sqrt{2}$
C. 0＜OD＜2$\sqrt{2}$
D. 4-2$\sqrt{2}$＜OD＜4

答案：
A[解析]如图
(1),连接OC,当点M落在OB上时，CD⊥OB,
∵∠AOB=90°,⌢AC = ⌢CB,
∴∠AOC=∠COB=45°.
∵∠CDO=90°,
∴∠DCO=∠COD=45°,
∴CD = OD = 2√2
　
　如图
(2),当点M落在OA上时，连接CM,CB,CO,DM,过点C作CT⊥OB于点T,CJ⊥OA于点J，则∠CJO=∠JOT=∠OTC=90°,
∴四边形JOTC是矩形.
∵C为弧AB的中点，
∴∠AOC=∠COB=45°,
∴OT=TC,
∴矩形JOTC是正方形，
∴OJ=OT=CJ=CT=2√2
∵CM=CB,CJ=CT,∠CJM=∠CTB=90°,
∴Rt△CJM≌Rt△CTB(HL),
∴JM = TB = 4 - 2√2
　设OD=y,则DM=DB=4−y.
∵OM²+OD²=DM²,
∴[2√2−(4−2√2)]²+y²=(4−y)²,
∴y=4√2−4.
∵点M落在扇形OAB内(不含边界)，
∴4√2−4＜OD＜2√2.故选A.

14 传统文化 “太极”图案 (2023·柳州三模)如图，这是“太极”图案的一部分，也称为“阴阳鱼”，其柔和而流畅的曲线构造既包含了国人的智慧文化，同时也蕴藏着很多的数学知识. 该图案可以看作是三段弧线的组合，即以AB为直径的半圆弧AB，以BC为直径的半圆弧BC，以AC为直径的半圆弧AC，且满足$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，A，B，C三点在同一直线上，若AB=4 cm，则该图案的面积为________cm²．
　　 　　　　

答案： 8π

15 (2024·江苏徐州铜山区期中)如图，点A，B，C，D在⊙O上，且$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$，E是AB延长线上一点，且BE=AB，F是EC中点，若BF=6 cm，则BD=________cm．

答案： 12

16 数学文化 《圆规的几何学》 (2023·甘肃中考)1672年，丹麦数学家莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用圆规可以完成一切尺规作图. 1797年，意大利数学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他的著作《圆规的几何学》中. 请你利用数学家们发现的结论，完成下面的作图题：
如图，已知⊙O，A是⊙O上一点，只用圆规将⊙O的圆周四等分. (按如下步骤完成，保留作图痕迹)
①以点A为圆心，OA长为半径，自点A起，在⊙O上按逆时针方向顺次截取$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$；
②分别以点A，点D为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于⊙O上方点E；
③以点A为圆心，OE长为半径作弧交⊙O于G，H两点. 即点A，G，D，H将⊙O的圆周四等分.
　　　　　　　

答案：
如图，点G,D,H即为所求.