《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

1. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$与自变量$x$的部分对应值如表，已知其中有且仅有一组值错误（其中$a$，$b$，$c$，$m$均为常数），则下列说法中一定正确的是(　　　)．


A. 若错误的数据是第一组数据，则$a + b + c＜0$
B. 若错误的数据是第二组数据，则$a + b + c＜0$
C. 若错误的数据是第三组数据，则$a + b + c＜0$
D. 若错误的数据是第四组数据，则$a + b + c＜0$

答案： C [解析]A.若错误的数据是第一组数据，则抛物线开口向下，对称轴为直线$x=\frac{0 + 3}{2}=\frac{3}{2}$，
∴当$x = 1$时$y$的取值与$x = 2$时$y$的取值相同，
∴当$x = 1$时，$y = a + b + c = 3＞0$，故说法错误；
B.若错误的数据是第二组数据，则抛物线开口向下，对称轴在$y$轴的右侧，
∴当$x = 1$时，$y = a + b + c＞2$，故说法错误；
C.若错误的数据是第三组数据，则抛物线开口向上，对称轴为直线$x=\frac{0 + 3}{2}=\frac{3}{2}$，
∴当$x = 1$时，$y = a + b + c＜-m^{2}＜0$，故说法正确；
D.若错误的数据是第四组数据，则抛物线开口向上，对称轴在$y$轴的左侧，
∴当$x = 1$时，$y = a + b + c＜3$，故说法错误。故选C。
解后反思：二次函数图象上纵坐标相同的点关于对称轴对称，利用表格寻找函数值相等的一组，从而可得对称轴。

2. 中考新考法 解题过程纠错改错(2024·泰州泰兴一模)小颖同学在用描点法画二次函数$y = ax^{2}+bx + c$图象时，列出了下面表格：

(1)表格中的“$\square$”数据被污染了，求被污染的数据.
(2)张老师针对上面的二次函数$y = ax^{2}+bx + c$提出了这样一个问题：当$-2\leqslant x\leqslant3$时，求函数值$y$的取值范围.
如下是小颖同学的解答过程：
解：当$x = -2$时，则$y = 19$，
当$x = 3$时，则$y = 4$，
$\therefore$函数值$y$的取值范围是$4\leqslant y\leqslant19$.
小颖的解答正确吗？如果正确，请说明理由；如果错误，请直接写出正确的结果.

答案：
(1)由题意，可设二次函数表达式为$y = a(x - 2)^{2}+3$，将$(0,7)$代入，得$a\times(-2)^{2}+3 = 7$，解得$a = 1$，
∴二次函数的表达式为$y=(x - 2)^{2}+3$。
当$x = 5$时，$y=(5 - 2)^{2}+3 = 12$。
∴被污染的数据为12。
(2)不正确。正确的解答如下：
∵抛物线为$y=(x - 2)^{2}+3$，
∴当$x = 2$时，$y$取最小值为3。
又当$x = - 2$时，$y = 19$；当$x = 3$时，$y = 4$，
∴当$-2\leqslant x\leqslant3$时，$3\leqslant y\leqslant19$。

3. (2024·济宁微山二模)已知二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数$y = ax - b$与反比例函数$y=\frac{c}{x}$的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致是(　　　)．
　　　　

答案： C

4. 中考新考法 新定义问题 (2023·郴州模拟)定义：若一个函数图象存在横坐标与纵坐标互为相反数的点，则称该点为函数图象的“和零点”. 例如，求函数$y = x - 2$图象的“和零点”.
解：$\because$“和零点”的横坐标与纵坐标互为相反数，
$\therefore$“和零点”在函数$y = -x$的图象上，
$\therefore\begin{cases}y = -x,\\y = x - 2,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 1,\\y = -1,\end{cases}$
$\therefore$函数$y = x - 2$图象的“和零点”是$(1,-1)$.
根据上述材料，解答下列问题：
(1)求函数$y=\frac{1}{2}x - 2$图象的“和零点”；
(2)若函数$y = x^{2}-3x + k$图象存在唯一的一个“和零点”，求$k$的值；
(3)如图，点$A$，$B$是函数$y = -x^{2}+4x + 6$图象的“和零点”，点$C$是函数$y=\frac{1}{2}x - 2$图象的“和零点”，过点$C$作$CD\perp x$轴，垂足为$D$. 连接$AB$，$AD$，$BD$，求$\triangle ABD$的面积.
　　　　　　　　　　

答案：
(1)由题意，得$\begin{cases}y = - x\\y=\frac{1}{2}x - 2\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{4}{3}\\y=-\frac{4}{3}\end{cases}$，
∴函数$y=\frac{1}{2}x - 2$图象的“和零点”为$(\frac{4}{3},-\frac{4}{3})$。
(2)
∵函数$y = x^{2}-3x + k$图象存在唯一的一个“和零点”，
∴$x^{2}-3x + k=-x$有两个相等的实数根，
整理方程，得$x^{2}-2x + k = 0$，则$\Delta=(-2)^{2}-4k = 0$，解得$k = 1$。
故若函数$y = x^{2}-3x + k$图象存在唯一的一个“和零点”，则$k$的值为1。
(3)由题意，得$-x^{2}+4x + 6=-x$，即$x^{2}-5x - 6 = 0$，解得$x_{1}=6$，$x_{2}=-1$，
∴$A(-1,1)$，$B(6,-6)$。
由
(1)可知$C(\frac{4}{3},-\frac{4}{3})$，
∴$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times[\frac{4}{3}-(-1)]+\frac{1}{2}\times\frac{4}{3}\times(6-\frac{4}{3})=\frac{14}{3}$。