《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

8 中考新考法 新定义问题 (2024·济南历下区模拟)对于代数式$A,B$，定义一种新运算：$A\otimes B = 2A^{2}-AB + B$.
①若$(x + 1)\otimes5 = 5$，则$x = -1$或$x = \frac{3}{2}$；
②若$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$(x - 1)\otimes(x + 2)=4$的两个根，则$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=12$；
③若二次函数$y = x\otimes(x - 2)$在$-3\leqslant x\leqslant a$内有最小值$-\frac{17}{4}$，则$a = -\frac{3}{2}$；
④若$y = |3\otimes(x^{2}+1)|$的函数图象与直线$y = x + 2b$有两个交点，则$-\sqrt{2}＜b＜\sqrt{2}$.
以上结论正确的个数是( ).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案：
B [解析]①
∵$(x + 1)\otimes5 = 5$，
∴$2(x + 1)^{2}-5(x + 1)+5 = 5$，
即$2(x + 1)^{2}-5(x + 1)=0$，
$(x + 1)(2x + 2 - 5)=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=\frac{3}{2}$，
故①正确；
②由定义的新运算，可得$(x - 1)\otimes(x + 2)=2(x - 1)^{2}-(x - 1)(x + 2)+(x + 2)=4$，
即$x^{2}-4x + 2 = 0$.
∵$x_{1}$，$x_{2}$是一元二次方程$(x - 1)\otimes(x + 2)=4$的两个根，
∴$x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=2$，
∴$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=4^{2}-2×2 = 12$，
故②正确；
③由定义的新运算，可得二次函数$y = x\otimes(x - 2)=2x^{2}-x(x - 2)+x - 2=x^{2}+3x - 2$.
∵$y = x^{2}+3x - 2=(x+\frac{3}{2})^{2}-\frac{17}{4}$，
∴函数的顶点为$(-\frac{3}{2},-\frac{17}{4})$.
∵二次函数$y = x\otimes(x - 2)$在$-3≤x≤a$内有最小值$-\frac{17}{4}$，
∴$a≥-\frac{3}{2}$，故③错误；
④由定义的新运算，可得函数$y = |3\otimes(x^{2}+1)|=|2×3^{2}-3(x^{2}+1)+(x^{2}+1)|=|16 - 2x^{2}|$.
如图，当直线$y = x + 2b$在$l_{1}$与$l_{2}$之间时，函数图象与直线有两交点，

令$y = 0$，则$16 - 2x^{2}=0$，解得$x = ±2\sqrt{2}$，
∴函数$y = |3\otimes(x^{2}+1)|$的图象与$x$轴的交点为$(-2\sqrt{2},0)$，$(2\sqrt{2},0)$.
把$(-2\sqrt{2},0)$代入$y = x + 2b$，解得$b=\sqrt{2}$，
把$(2\sqrt{2},0)$代入$y = x + 2b$，解得$b = -\sqrt{2}$，
∴当$-\sqrt{2}＜b＜\sqrt{2}$时，$y = |3\otimes(x^{2}+1)|$的函数图象与直线$y = x + 2b$有两个交点；
当直线$y = x + 2b$在$l_{3}$上方时，函数图象与直线有两个交点，
令$16 - 2x^{2}=x + 2b$，整理，得$2x^{2}+x - 16 + 2b = 0$，
令$\Delta = 0$，则$1^{2}-4×2×(-16 + 2b)=0$，解得$b=\frac{129}{16}$，
∴当$b＞\frac{129}{16}$时，$y = |3\otimes(x^{2}+1)|$的函数图象与直线$y = x + 2b$有两个交点.
故若$y = |3\otimes(x^{2}+1)|$的函数图象与直线$y = x + 2b$有两个交点，则$-\sqrt{2}＜b＜\sqrt{2}$或$b＞\frac{129}{16}$，故④错误. 故选 B.

9 如图，在平面直角坐标系中，正方形$OABC$的边长为4，边$OA,OC$分别在$x$轴、$y$轴的正半轴上，把正方形$OABC$的内部及边上横、纵坐标均为整数的点称为“好点”，点$P$为抛物线$y = -(x - m)^{2}+m + 2$的顶点.
(1)当$m = 0$时，求该抛物线下方(包括边界)的“好点”个数；
(2)当$m = 3$时，求该抛物线上的“好点”坐标；
(3)若点$P$在正方形$OABC$的内部，该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个“好点”，求$m$的取值范围.
　　　　　　　　　　　　

答案：

(1)当$m = 0$时，二次函数的表达式为$y = -x^{2}+2$，画出函数图象，如图
(1).
∵当$x = 0$时，$y = 2$；当$x = 1$时，$y = 1$，
∴抛物线经过点(0,2)和(1,1)，
∴符合条件的“好点”有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)和(1,1)，共 5 个.

(2)当$m = 3$时，二次函数的表达式为$y = -(x - 3)^{2}+5$，画出函数图象，如图
(2).
∵当$x = 1$时，$y = 1$；当$x = 2$时，$y = 4$；当$x = 4$时，$y = 4$，
∴该抛物线上的“好点”坐标分别是(1,1)，(2,4)和(4,4).
(3)
∵抛物线的顶点为$P(m,m + 2)$，
∴点$P$在直线$y = x + 2$上.
∵点$P$在正方形内部，
∴$0＜m＜2$.
如图
(3)，$E(2,1)$，$F(2,2)$.

∴当顶点$P$在正方形$OABC$内，且恰好存在 8 个“好点”时，抛物线与线段$EF$有交点(点$F$除外).
当抛物线经过点$E(2,1)$时，
$-(2 - m)^{2}+m + 2 = 1$，
解得$m_{1}=\frac{5-\sqrt{13}}{2}$，$m_{2}=\frac{5+\sqrt{13}}{2}$(舍去).
当抛物线经过点$F(2,2)$时，$-(2 - m)^{2}+m + 2 = 2$，
解得$m_{3}=1$，$m_{4}=4$(舍去).
∴当$\frac{5-\sqrt{13}}{2}≤m＜1$时，顶点$P$在正方形$OABC$内，恰好存在 8 个“好点”.

10 (2023·大庆中考)如图，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象与$x$轴交于$A,B$两点，且自变量$x$的部分取值与对应函数值$y$如下表：
　　　
(1)求二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的表达式；
(2)若将线段$AB$向下平移，得到的线段与二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象交于$P,Q$两点($P$在$Q$左边)，$R$为二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象上的一点，当点$Q$的横坐标为$m$，点$R$的横坐标为$m+\sqrt{2}$时，求$\tan\angle RPQ$的值；
(3)若将线段$AB$先向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的线段与二次函数$y = \frac{1}{t}(ax^{2}+bx + c)$的图象只有一个交点，其中$t$为常数，请直接写出$t$的取值范围.
　　

答案：

(1)
∵二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图象经过$A(-1,0)$，$B(3,0)$，$(0,-3)$三个点，
∴$\begin{cases}a - b + c = 0,\\9a + 3b + c = 0,\\c = -3,\end{cases}$
∴$\begin{cases}a = 1,\\b = -2,\\c = -3,\end{cases}$
∴二次函数的表达式为$y = x^{2}-2x - 3$.
(2)如图
(1)，连接$PR$，过点$R$作$RT⊥PQ$，交$PQ$延长线于点$T$.
∵点$Q$的横坐标为$m$，点$R$的横坐标为$m+\sqrt{2}$，
∴$QT=\sqrt{2}$.
∵二次函数$y = x^{2}-2x - 3$的对称轴为直线$x = 1$，
∴点$P$，$Q$关于直线$x = 1$对称.
∵点$Q$到$x = 1$的距离是$m - 1$，
∴$PQ = 2(m - 1)=2m - 2$，
∴$PT = 2m - 2+\sqrt{2}$.
∵$y_{R}=(m+\sqrt{2})^{2}-2(m+\sqrt{2})-3$，$y_{T}=y_{Q}=m^{2}-2m - 3$，
∴$RT = y_{R}-y_{T}=2\sqrt{2}m - 2\sqrt{2}+2$.
在$Rt\triangle RPT$中，$\tan\angle RPQ=\frac{RT}{PT}=\frac{2\sqrt{2}m - 2\sqrt{2}+2}{2m - 2+\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

(3)线段$AB$先向上平移 3 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，得到的线段设为$A'B'$，则$A'(0,3)$，$B'(4,3)$.
∵二次函数$y=\frac{1}{t}(x^{2}-2x - 3)$与$x$轴交于$A(-1,0)$，$B(3,0)$两点，对称轴为直线$x = 1$，
∴二次函数$y=\frac{1}{t}(x^{2}-2x - 3)$与二次函数$y = x^{2}-2x - 3$相比较，只是开口大小和方向发生了变化，并且$|\frac{1}{t}|$越大，开口越小.
若线段$A'B'$与二次函数$y=\frac{1}{t}(x^{2}-2x - 3)$的图象只有一个交点，分以下三种情况：
①当$t＞0$时，开口向上，如图
(2)，线段$A'B'$与二次函数$y=\frac{1}{t}(x^{2}-2x - 3)$的图象只有一个交点，当抛物线经过$B'(4,3)$时开口最大，$\frac{1}{t}$最小，$t$最大，把(4,3)代入$y=\frac{1}{t}(x^{2}-2x - 3)$，得$t=\frac{5}{3}$，
∴$0＜t≤\frac{5}{3}$；
②当$t＜0$时，开口向下，如图
(3)，线段$A'B'$与二次函数$y=\frac{1}{t}(x^{2}-2x - 3)$的图象只有一个交点(1,3)，代入$y=\frac{1}{t}(x^{2}-2x - 3)$，得$t = -\frac{4}{3}$；

③当$t＜0$时，开口向下，如图
(4)，
线段$A'B'$与二次函数$y=\frac{1}{t}(x^{2}-2x - 3)$的图象只有一个交点，当抛物线经过$A'(0,3)$时开口最大，$|\frac{1}{t}|$最小，$t$最小，把(0,3)代入$y=\frac{1}{t}(x^{2}-2x - 3)$，得$t = -1$，
∴$-1＜t＜0$.
综上所述，$t$的取值范围是$t = -\frac{4}{3}$或$-1＜t＜0$或$0＜t≤\frac{5}{3}$.