《2025年1课3练江苏人民出版社九年级数学下册北师大版》

12 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的图象如图所示，对称轴是直线$x = 1$，下列结论：①$ab＜0$；②$b^{2}＞4ac$；③$a - b + c＞0$；④$2a + b = 0$．其中正确的是( )．

A. ①③④
B. ②③④
C. ①②③
D. ①②③④

答案： D

13 中考新考法 满足条件的结论开放 定义：将两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离称为这两个函数的“和谐值”．如果抛物线$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$与抛物线$y=(x - 1)^{2}+1$的“和谐值”为2，试写出一个符合条件的函数表达式：______．

答案： y = x²−2x + 4（答案不唯一）

14 (2024·北京中考)在平面直角坐标系$xOy$中，已知抛物线$y = ax^{2}-2a^{2}x(a\neq0)$．
(1)当$a = 1$时，求抛物线的顶点坐标；
(2)已知$M(x_{1},y_{1})$和$N(x_{2},y_{2})$是抛物线上的两点．若对于$x_{1}=3a$，$3\leqslant x_{2}\leqslant4$，都有$y_{1}＜y_{2}$，求$a$的取值范围．

答案：

(1)把a = 1代入y = ax²−2a²x，得y = x²−2x=(x - 1)²−1，
∴抛物线的顶点坐标为(1,−1).
(2)分两种情况：抛物线的对称轴是直线x=−$\frac{-2a²}{2a}$=a.
当a＞0时，如图
(1)，此时3a ＜ 3，
∴a ＜ 1.
∵a＞0，
∴0 ＜ a ＜ 1；

当a ＜ 0时，如图
(2)，此时−a＞4，解得a ＜ -4.
∵a ＜ 0，
∴a ＜ -4.
(第14题)
综上所述，当0 ＜ a ＜ 1或a ＜ -4时，都有y₁ ＜ y₂.
素养考向 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键.

15 中考新考法 新定义问题 已知两个函数，若对于任意的自变量$x$，这两个函数对应的函数值记为$y_{1}$，$y_{2}$，都有点$(x,y_{1})$，$(x,y_{2})$关于点$(x,x)$对称，则称这两个函数为关于$y = x$的对称函数，例如，$y_{1}=\frac{1}{2}x$和$y_{2}=\frac{3}{2}x$为关于$y = x$的对称函数．
(1)判断：①$y_{1}=3x$和$y_{2}=-x$；②$y_{1}=x + 1$和$y_{2}=x - 1$；③$y_{1}=x^{2}+1$和$y_{2}=x^{2}-1$．其中为关于$y = x$的对称函数的是______(填序号)；
(2)若$y_{1}=3x + 2$和$y_{2}=kx + b(k\neq0)$为关于$y = x$的对称函数，求$k$，$b$的值．
(3)若$y_{1}=ax^{2}+bx + c(a\neq0)$和$y_{2}=x^{2}+n$为关于$y = x$的对称函数，令$w = y_{2}-y_{1}$，当函数$w$与函数$y = x(0\leqslant x\leqslant2)$有且只有一个交点时，求$n$的取值范围．

答案：
(1)①② [解析]①
∵$\frac{y₁+y₂}{2}$=$\frac{3x - x}{2}$=x，
∴y₁=3x和y₂=−x关于y = x对称.
②
∵$\frac{y₁+y₂}{2}$=$\frac{x + 1+x - 1}{2}$=x，
∴y₁=x + 1和y₂=x - 1关于y = x对称.
③
∵$\frac{y₁+y₂}{2}$=$\frac{x²+1+x²-1}{2}$=x²，x²≠x，
∴y₁=x²+1和y₂=x²-1不关于y = x对称.
(2)
∵y₁=3x + 2和y₂=kx + b（k≠0）为关于y = x的对称函数，
∴$\frac{y₁+y₂}{2}$=$\frac{3x + 2+kx + b}{2}$=$\frac{(3 + k)x+2 + b}{2}$=x，
∴$\begin{cases}\frac{3 + k}{2}=1,\\2 + b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=-2.\end{cases}$
(3)
∵y₁=ax²+bx + c（a≠0）和y₂=x²+n为关于y = x的对称函数，
∴$\frac{ax²+bx + c+x²+n}{2}$=$\frac{(a + 1)x²+bx + c + n}{2}$=x，
∴$\begin{cases}a + 1 = 0,\\\frac{b}{2}=1,\\c + n = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b = 2,\\c=-n,\end{cases}$
∴y₁=−x²+2x - n，
∴w = y₂−y₁=x²+n+x²−2x + n=2x²−2x + 2n，
∴函数w的图象的开口向上，对称轴为直线x=−$\frac{-2}{2×2}$=$\frac{1}{2}$，与y轴的交点为(0,2n).
∵函数w与函数y = x（0≤x≤2）有且只有一个交点，
∴①$\begin{cases}2n ＜ 0,\\2×2²−2×2+2n\geqslant2,\end{cases}$解得−1≤n ＜ 0.
②令2x²−2x + 2n = x，则2x²−3x + 2n = 0，
∴Δ = 0，即(−3)²−4×2×2n = 0，解得n=$\frac{9}{16}$.
综上所述，n的取值范围是−1≤n ＜ 0或n=$\frac{9}{16}$.