《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

8.(2024北京交大附中第二分校模拟,12,★☆☆)将含有30°角的直角三角尺按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上,将三角尺绕原点O顺时针旋转75°,若OA = 3,则点A的对应点A'的坐标为________.(M9223003)
　 

答案：
答案　$(\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{3\sqrt{2}}{2})$
解析　如图所示,过A'作A'E⊥x轴于E,

则OA'=OA=3,∠A'OE=75° - 30°=45°,
∴A'E=OE=OA'×cos 45°=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$,
∵点A'在第四象限,
∴点A'的坐标为$(\frac{3\sqrt{2}}{2},-\frac{3\sqrt{2}}{2})$.

9.新考向·规律探究题(2023北京东城景山学校期末,16,★☆☆)如图,在直角坐标系中,已知点P0的坐标为(1,0),进行如下操作:将线段OP0按逆时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP0的2倍,得到线段OP1;又将线段OP1按逆时针方向旋转45°,长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2,如此重复操作下去,得到线段OP3,OP4, …,则
(1)点P5的坐标为________;
(2)落在x轴正半轴上的点Pn的坐标是________.(n是8的整数倍)

答案：
答案　
(1)(-16$\sqrt{2}$,-16$\sqrt{2}$)
(2)(2ⁿ,0)
解析　
(1)由图可得P₅在第三象限的角平分线上,
∵OP₁=2¹,OP₂=2²,OP₃=2³,
∴OP₅=2⁵=32.
作P₅A⊥x轴,P₅B⊥y轴,

∴AO=OB=16$\sqrt{2}$,
∴点P₅的坐标为(-16$\sqrt{2}$,-16$\sqrt{2}$).
(2)
∵每8个点循环一次,且n是8的倍数,
∴落在x轴正半轴上的点Pₙ的坐标是(2ⁿ,0).

10.推理能力 新考向·新定义试题(2024北京首师大附中期中)将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转30°得到斜坐标系.如图1,在斜坐标系xOy中,对于该平面内的任意一点P,过点P分别作y轴,x轴的平行线,与两轴交点所对应的数分别为m与n,则称有序数对(m,n)为点P的坐标.对于任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)和常数k(k＞0),定义dk(P1,P2)=|x1 - x2|+k|y1 - y2|为点P1与P2的“k - 度量”.
如图2,在斜坐标系xOy中,已知点A(1,2),B(3,2),回答下列问题:
(1)点A与点O的“$\frac{1}{2}$ - 度量”为________.
(2)已知点C(0,c),过点C作平行于x轴的直线l.当c = - 2时,直接写出直线l上与点O的“$\frac{1}{2}$ - 度量”为2的点的坐标.
若直线l上存在与点O的“$\frac{1}{2}$ - 度量”为2的点,直接写出c的取值范围.
(3)已知点M(m - $\frac{1}{2}$,- $\frac{1}{2}$),N(m + $\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$),若线段AB上存在点P,在线段MN上存在点Q,使得d1(P,Q)=5,直接写出m的取值范围.
　　　　　　　　　　　　

答案： 解析　
(1)由题意得$d_{\frac{1}{2}}(A,O)=|1 - 0|+\frac{1}{2}|2 - 0|=2$.
(2)由题意得C(0,-2),设直线l上点的坐标为D(m,-2),
∵直线l上与点O的“$\frac{1}{2}$-度量”为2,
∴|m - 0|+$\frac{1}{2}$|-2 - 0|=2,整理得|m|=1,解得m=±1,
∴直线l上与点O的“$\frac{1}{2}$-度量”为2的点的坐标为(1,-2)或(-1,-2).
设直线l上存在与点O的“$\frac{1}{2}$-度量”为2的点为E(n,c),则|n - 0|+$\frac{1}{2}$|c - 0|=2,整理得|n|=2-$\frac{1}{2}$|c|,
∵|n|≥0,
∴2-$\frac{1}{2}$|c|≥0,解得-4≤c≤4,
故c的取值范围为-4≤c≤4.
(3)-3≤m≤1或4≤m≤6.