《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

25.[答案含评分细则]北京常考·旋转补形问题 (2024北京顺义二模)(10分)如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，D为AC上一点(不与点A、C重合)，将线段DA绕点D顺时针旋转α得到线段DE，连接BD并延长到点F，使DF=BD，作射线FE，交射线BA于点G.
(1)依题意补全图形；
(2)求证：BG=2DE；
(3)在射线BA上取点H(不与点G重合)，使AH=AG，连接CH、CF，用等式表示线段CH与CF的数量关系，并证明.

答案：
解析
(1)如图

2分
(2)证明：
∵将线段DA绕点D顺时针旋转α得到线段DE，
∴∠ADE = α，
∵∠BAC = α，
∴∠BAC = ∠ADE，
∴DE//AB，
∴$\frac{FE}{GE}$ = $\frac{DF}{BD}$，
∵DF = BD，
∴EF = GE，
∴BG = 2DE。
6分
(3)CH = CF。
证明：如图，过点F作FM//AB，交AC于点M，

∴∠BAM = ∠FMA，
∵∠ADB = ∠FDM，BD = DF，
∴△ADB≌△MDF(AAS)，
∴AB = MF，AD = MD，
7分
∵AB = AC，
∴AC = MF。
∵BG = 2DE，AM = 2AD，且AD = DE，
∴BG = AM，
∴AG = CM，
9分
∵AH = AG，
∴AH = CM，
∵FM//AB，
∴∠HAC = ∠FMC，
∴△HAC≌△CMF(SAS)，
∴CH = CF。
10分

26.[答案含评分细则](2023北京丰台一模)(10分)对于点P和图形G，若在图形G上存在不重合的点M和点N，使得点P关于线段MN中点的对称点在图形G上，则称点P是图形G的“中称点”.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0)，B(1,1)，C(0,1).
(1)在点P1($\frac{1}{2}$,0)，P2($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)，P3(1,-2)，P4(-1,2)中，_______是正方形OABC的“中称点”.
(2)⊙T的圆心在x轴上，半径为1.
①当圆心T与原点O重合时，若直线y=x+m上存在⊙T的“中称点”，求m的取值范围；
②若正方形OABC的“中称点”都是⊙T的“中称点”，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围.

答案：
解析
(1)正方形OABC的“中称点”的运动轨迹是一个边长为3的正方形(四个顶点除外)，如图1。

∵P₁($\frac{1}{2}$,0)，P₂($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)在边长为2的正方形边上及内部，
∴P₁，P₂是正方形OABC的“中称点”。
2分
(2)①圆T的“中称点”轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆上及内部，如图2。

当直线y = x + m与圆相切时，m能分别取到最大值和最小值，当DO⊥EF时，DO = 3，
当m ＞ 0时，直线y = x + m与x轴的交点F为( - m,0)，与y轴的交点E为(0,m)，∠EFO = 45°，
∴EO = 3$\sqrt{2}$，
∴m = 3$\sqrt{2}$；
4分
当m ＜ 0时，同理可得m = - 3$\sqrt{2}$，
∴ - 3$\sqrt{2}$ ≤ m ≤ 3$\sqrt{2}$。
6分
②圆T的“中称点”轨迹是以T为圆心，以3为半径的圆上及内部，正方形OABC的“中称点”轨迹是边长为3的正方形(四个顶点除外)。
如图3，当t ＜ 0时，TH = 3，HK = 2，
∴TK = $\sqrt{5}$，
∴t = 2 - $\sqrt{5}$；

8分
如图4，当t ＞ 0时，TH = 3，HQ = 2，
∴TQ = $\sqrt{5}$，
∴t = - 1 + $\sqrt{5}$。
综上所述，2 - $\sqrt{5}$ ≤ t ≤ - 1 + $\sqrt{5}$。

10分