《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

7.(2024北京顺义牛栏山一中实验学校月考)某商场销售一种夹克和衬衣,夹克每件定价200元,衬衣每件定价100元,商场在开展促销活动期间,向顾客提供两种优惠方案.
方案一:买一件夹克送一件衬衣;
方案二:夹克和衬衣均按定价的7折出售.
现有顾客要到该商场购买夹克30件,衬衣x件(x＞30).(M9226001)
(1)用含x的代数式表示按方案一购买的费用y₁元和按方案二购买的费用y₂元.
(2)购买衬衣多少件时,两种方案付款一样多?

答案： 解析
(1)根据买一件夹克送一件衬衣，可得需要付款的衬衣有(x - 30)件，
根据题意，得$y_1 = 30×200 + 100×(x - 30)$，即$y_1 = 100x + 3000$.
根据夹克和衬衣均按定价的7折出售，可得它们的单价分别为200×0.7 = 140元和100×0.7 = 70元，
根据题意，得$y_2 = 140×30 + 70x = 70x + 4200$.
(2)根据题意，得100x + 3000 = 70x + 4200，
解得x = 40，
故购买衬衣40件时，两种方案付款一样多.

8.跨物理·振动实验 (2024北京海淀外国语藤飞学校期中)小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后,对其作了进一步的探究:在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A,小球A可以自由摆动,如图,OA表示小球静止时的位置.当小明用发声物体靠近小球时,小球从OA摆到OB位置,此时过点B作BD⊥OA于点D,当小球摆到OC位置时,OB与OC恰好垂直(图中的A、B、O、C在同一平面上),过点C作CE⊥OA于点E,测得OB=17 cm,BD=8 cm.
(1)试说明:OE=BD;
(2)求DE的长.

答案： 解析
(1)证明：
∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE = 90°，
∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO = ∠ODB = 90°，
∴∠BOD+∠B = 90°，
∴∠COE = ∠B.
在△COE和△OBD中，
$\begin{cases}∠CEO = ∠ODB\\∠COE = ∠B\\OC = BO\end{cases}$，
∴△COE≌△OBD(AAS)，
∴OE = BD.
(2)在Rt△OBD中，
$OD=\sqrt{OB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{17^{2}-8^{2}} = 15$(cm)，
由
(1)得OE = BD = 8 cm，
∴DE = OD - OE = 15 - 8 = 7(cm).

9.跨体育与健康·体育器材 (2024北京大兴期末)根据《北京市教育委员会关于印发义务教育体育与健康考核评价方案的通知》要求,自2024年起,本市初三年级体育与健康考核评价现场考试内容进行调整,其中运动能力Ⅰ中新增:乒乓球—左推右攻发球、羽毛球—正反手挑球和发高远球两项.
某学校为此在体育大课间中专门开设乒乓球和羽毛球课程,需要购买相应的体育器材上课使用,其中羽毛球拍25套,乒乓球拍50套,共花费4 500元,已知羽毛球拍的单价比乒乓球拍的单价高30元.
(1)问羽毛球拍和乒乓球拍的单价各是多少元?
(2)根据需要,学校决定再次购进乒乓球拍和羽毛球拍共50套,恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动,羽毛球拍的单价打8折,乒乓球拍的单价优惠4元.若此次学校购买两种球拍的总费用不超过2 750元,且购买羽毛球拍的数量不少于23套,请通过计算,设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案.

答案： 解析
(1)设乒乓球拍的单价是x元，则羽毛球拍的单价是(x + 30)元，
根据题意得25(x + 30)+50x = 4500，
解得x = 50，
∴x + 30 = 50 + 30 = 80.
答：羽毛球拍的单价是80元，乒乓球拍的单价是50元.
(2)设购买m套羽毛球拍，则购买(50 - m)套乒乓球拍，
根据题意得$\begin{cases}80×0.8m+(50 - 4)(50 - m)≤2750\\m≥23\end{cases}$，
解得23≤m≤25，
又
∵m为正整数，
∴m可以为23，24，25，
∴学校共有3种购买方案.
方案1：购买23套羽毛球拍，27套乒乓球拍，所需费用为80×0.8×23+(50 - 4)×27 = 2714(元)；
方案2：购买24套羽毛球拍，26套乒乓球拍，所需费用为80×0.8×24+(50 - 4)×26 = 2732(元)；
方案3：购买25套羽毛球拍，25套乒乓球拍，所需费用为80×0.8×25+(50 - 4)×25 = 2750(元).
∵2714＜2732＜2750，
∴符合购买要求且节约资金的购买方案为购买23套羽毛球拍，27套乒乓球拍.