《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

12.[易错题 分类讨论思想](2023黑龙江绥化模拟,19,★★☆)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边BC在x轴上,其中点A的坐标为(1,2),正方形EFGH的边FG在x轴上,且H的坐标为(9,4),则正方形ABCD与正方形EFGH的位似中心的坐标是________________.(M9223006)

答案：
答案　（-3，0）或$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$
解析　本题易因情况考虑不全面而丢解.
①当点D与点H为对应点时，如图，连接HD并延长交x轴于点P，则点P为位似中心.
　　　　　
∵四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（1，2），
∴点D的坐标为（3，2），
∵DC//HG，
∴△PCD∽△PGH，
∴$\frac{PC}{PG}=\frac{CD}{HG}$，即$\frac{OP + 3}{OP + 9}=\frac{2}{4}$，解得OP = 3，
∴位似中心的坐标是（-3，0）.
②当点D与点F为对应点时，如图，连接CE、DF交于点P，由题意得C（3，0），E（5，4），D（3，2），F（5，0），求出直线DF的解析式为y = -x + 5，直线CE的解析式为y = 2x - 6，
　　　　　
联立得$\begin{cases}y = -x + 5\\y = 2x - 6\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{11}{3}\\y=\frac{4}{3}\end{cases}$，
∴直线DF，CE的交点P的坐标为$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$，
∴位似中心的坐标是$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$.
故答案为（-3，0）或$(\frac{11}{3},\frac{4}{3})$.

13.(2023北京石景山京源学校月考,21,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,△AOB的顶点分别是A(1,0),O(0,0),B(2,2).
(1)画出△A₁OB₁,使△A₁OB₁与△AOB关于原点对称.
(2)以点O为位似中心,将△AOB的各边放大为原来的2倍,得到△A₂OB₂.
①画出一个满足条件的△A₂OB₂;
②若在△AOB内部有一点N的坐标为(m,n),则点N在△A₂OB₂内的对应点M的坐标为________.(写出所有情况)

答案：
解析　
(1)如图,△A₁OB₁即为所求.
(2)①如图,△A₂OB₂即为所求.(答案不唯一)
　　　　　
②（2m，2n）或（-2m，-2n）.

14.[推理能力]如图,正三角形ABC的边长为3+$\sqrt{3}$.
(1)如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N',且使正方形E'F'P'N'的面积最大(不要求写作法);
(2)求(1)中作出的正方形E'F'P'N'的边长;
(3)如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE、EF在边AB上,点P、N分别在边CB、CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由.

答案：
解析　
(1)如图①,正方形E'F'P'N'即为所求.
　　　　
(2)设正方形E'F'P'N'的边长为x，
∵△ABC为正三角形，
∴AE' = BF' = $\frac{\sqrt{3}}{3}x$.
∵E'F' + AE' + BF' = AB，
∴$x+\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{\sqrt{3}}{3}x = 3+\sqrt{3}$，
∴$x = 3\sqrt{3}-3$.
(3)如图②,连接NE、EP、PN，则∠NEP = 90°.设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，则NE = $\sqrt{2}m$，PE = $\sqrt{2}n$.
∴PN² = NE² + PE² = 2m² + 2n² = 2(m² + n²).
∴$S = m^{2}+n^{2}=\frac{1}{2}PN^{2}$.
延长PH交ND于点G，则PG⊥ND.
在Rt△PGN中，PN² = PG² + GN² = (m + n)² + (m - n)².
∵AD + DE + EF + BF = AB，
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}m+m+n+\frac{\sqrt{3}}{3}n=\sqrt{3}+3$，化简得m + n = 3.
∴$S=\frac{1}{2}[(m + n)^{2}+(m - n)^{2}]=\frac{1}{2}[3^{2}+(m - n)^{2}]=\frac{9}{2}+\frac{1}{2}(m - n)^{2}$.
①当(m - n)² = 0，即m = n时，S最小.
∴$S_{最小}=\frac{9}{2}$.
②当(m - n)²最大，即m最大且n最小时，S最大.
由（2）知，$m_{最大}=3\sqrt{3}-3$.
∴$n_{最小}=6 - 3\sqrt{3}$.
∴$S_{最大}=\frac{1}{2}[9+(m_{最大}-n_{最小})^{2}]$
=$\frac{1}{2}[9+(3\sqrt{3}-3 - 6 + 3\sqrt{3})^{2}]$
= 99 - 54$\sqrt{3}$.
综上所述，$S_{最大}=99 - 54\sqrt{3}$，$S_{最小}=\frac{9}{2}$.