《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

20.(10分)北京常考.线段旋转(2024北京中考)已知∠MAN = α(0°＜α＜45°),点B,C分别在射线AN,AM上,将线段BC绕点B顺时针旋转180° - 2α得到线段BD,过点D作AN的垂线交射线AM于点E.
(1)如图1,当点D在射线AN上时,求证:C是AE的中点;
(2)如图2,当点D在∠MAN内部时,作DF//AN,交射线AM于点F,用等式表示线段EF与AC的数量关系,并证明.

答案：
解析　
(1)证明：如图1，连接CD，由题意得BC=BD，∠CBD=180° - 2α，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°，
∴∠BDC=$\frac{180° - (180° - 2α)}{2}$=α，
∴∠BDC=∠A，
∴CA=CD，
∵DE⊥AN，
∴∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°，
∴∠1=∠2，
∴CD=CE，
∴CA=CE，
∴点C是AE的中点.
　　　
(2)EF=2AC.
证明：如图2，在射线AM上取点H，连接BH，使得BH=BA，取EF的中点G，连接DG，DH，
∵BH=BA，
∴∠BAH=∠BHA=α，
∴∠ABH=180° - 2α=∠CBD，
∴∠ABC=∠HBD，
∵BC=BD，
∴△ABC≌△HBD(SAS)，
∴AC=DH，∠BHD=∠A=α，
∴∠FHD=∠BHA+∠BHD=2α，
∵DF//AN，
∴∠EFD=∠A=α，∠EDF=∠3=90°，
在Rt△EDF中，
∵G是EF的中点，
∴GF=GD，EF=2GD，
∴∠GFD=∠GDF=α，
∴∠HGD=2α，
∴∠HGD=∠FHD，
∴DG=DH，
∵AC=DH，
∴DG=AC，
∴EF=2AC.

21.(12分)(2024北京西城校级模拟)已知,如图1,直线AB//CD,E为直线AB上方一点,连接ED、BE,ED与AB交于点P.
(1)若∠ABE = 110°,∠CDE = 70°,则∠E = ________.
(2)如图1所示,作∠CDE的平分线交AB于点F,点M为CD上一点,∠BFM的平分线交CD于点H,过点H作HG⊥FH交FM的延长线于点G,GF//BE,且2∠E = 3∠DFH + 20°,求∠EDF + ∠G的度数.
(3)如图2,在(2)的条件下,∠FDC = 25°,将△FHG绕点F顺时针旋转,速度为每秒3°,记旋转中的△FHG为△FH'G',同时∠FDE绕着点D顺时针旋转,速度为每秒5°,记旋转中的∠FDE为∠F'DE',当∠FDE旋转一周时,整个运动停止.设运动时间为t秒,则当△FH'G'的一条边与∠F'DE'的一条边DF'互相垂直时,直接写出t的值.

答案：
解析　
(1)
∵AB//CD，∠CDE=70°，
∴∠EPB=∠CDE=70°，
∵∠ABE是△BEP的外角，∠ABE=110°，
∴∠E=∠ABE - ∠EPB=110° - 70°=40°.
(2)
∵GF//BE，AB//CD，
∴∠GFB=∠FBE，∠HDF=∠PFD，
∵FH平分∠BFM，
∴∠GFH=∠HFP，
∴∠GFB=2∠HFP=2∠HFD+2∠DFP.
∵DF平分∠CDE，
∴∠FDH=∠FDE=∠PFD，
∴∠EPB=∠PDH=2∠PDF=2∠PFD，
∵∠EBF为△EBP的外角，
∴∠EBF=∠E+∠EPB=∠E+2∠PFD，
∴2∠HFD+2∠DFP=∠E+2∠PFD，
∴∠E=2∠DFH.
∵2∠E=3∠DFH+20°，
∴4∠DFH=3∠DFH+20°，
∴∠DFH=20°.
∵HG⊥FH，
∴∠FHG=90°，
∴∠G+∠GFH=90°，
∴∠G+∠HFP=∠G+∠DFH+∠PFD=90°，
∴∠G+∠PFD=90° - ∠DFH=90° - 20°=70°，
∴∠EDF+∠G=70°.
(3)t的值为10.详解：当∠FDC=25°时，∠HFP=∠HFD+∠DFP=45°，
∴∠GFH=∠HFP=45°，
∴∠G=45°.
当△FH′G′的一条边与∠F′DE′的一条边DF′互相垂直时，分三种情况：
①如图1，当G′H′⊥DF′时，设FH′交CD于点S，易得FH′//F′D，
∴∠FSC=∠CDF′，
∵∠CDF′=25°+(5t)°，∠FSC=45°+(3t)°，
∴25°+(5t)°=45°+(3t)°，解得t=10；
②如图2，当G′F⊥F′D时，设G′F交CD于R，交DF′于点Q，则∠QRD+∠QDR=90°，
∵∠HDF′=25°+(5t)°，∠CRG′=∠G′FA=(3t)° - 90°，
∴∠RDQ=180° - ∠HDF′=180° - [25°+(5t)°]，∠DRQ=∠CRG′=(3t)° - 90°，
∴(3t)° - 90°+180° - [25°+(5t)°]=90°，解得t=-12.5＜0(舍去)；
③如图3，当H′F⊥DF′时，设H′F交CD于点U，交DF′于点V，
∵∠HDF′=25°+(5t)°，∠CUF=∠AFH′=(3t)° - 90° - 45°，
∴∠UDV=180° - ∠HDF′=180° - [25°+(5t)°]，∠VUD=∠CUF=(3t)° - 90° - 45°，
∵∠VUD+∠UDV=90°，
∴180° - [25°+(5t)°]+(3t)° - 90° - 45°=90°，解得t=-35＜0(舍).
综上所述，t的值为10.



点拨
该题第
(3)问的解题关键在于作图，若可顺利画出不同情况下的示意图，则可顺利解题.