《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

26.[答案含评分细则](2024北京中考)(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y = ax² - 2a²x(a ≠ 0).
(1)当a = 1时，求抛物线的顶点坐标.
(2)已知M(x₁,y₁)和N(x₂,y₂)是抛物线上的两点.若对于x₁ = 3a，3 ≤ x₂ ≤ 4，都有y₁ ＜ y₂，求a的取值范围.

答案：
解析　
(1)把a = 1代入y = ax² - 2a²x得，y = x² - 2x = (x - 1)² - 1，
∴ 抛物线的顶点坐标为(1,-1).　　　　　　　2分
(2)
∵ 2a²/2a = a，
∴ 抛物线的对称轴为直线x = a，分两种情况讨论:
　①当a＞0时，如图，由y1 ＜ y2可得a ＜ 3a ＜ 3，
　　　　　　　
　
∴ 0 ＜ a ＜ 1;　　　　　　　　　　　　　　　　　5分
②当a＜0时，如图，由y1 ＜ y2可知4 ＜ -a，
　　　　　　　
　解得a ＜ -4.　　　　　　　　　　　　　　　　8分
综上，0 ＜ a ＜ 1或a ＜ -4.　　　　　　　　　　　10分

27.[答案含评分细则](2023北京中考)(10分)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”.
(1)如图，点A(-1,0)，B₁(-√2/2,√2/2)，B₂(√2/2,-√2/2).
①在点C₁(-1,1)，C₂(-√2,0)，C₃(0,√2)中，弦AB₁的“关联点”是_______；
②若点C是弦AB₂的“关联点”，直接写出OC的长.
(2)已知点M(0,3)，N(6√5/5,0).对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围.
　　　　　　　　　　　　

答案：
解析　
(1)①C1，C2.
提示：C1A与⊙O相切，C1B1经过点O；C2B1与⊙O相切，C2A经过点O；C3B1与⊙O相切，C3A不经过点O.
②√2.
提示：当AC为⊙O的切线且CB2过点O时，∠COA = 45°，
∴ C(-1,1)；当AC经过点O且CB2为⊙O的切线时，∠COB2 = 45°，
∴ C(√2,0).两种情况中的OC长都是√2.
(2)1≤t≤2√3/3或2√6/3≤t≤√3.
详解：如图1，在MN上任取一点S，作直线id:30
content:27.[答案含评分细则](2023北京中考)(10分)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”.
(1)如图，点A(-1,0)，B₁(-√2/2,√2/2)，B₂(√2/2,-√2/2).
①在点C₁(-1,1)，C₂(-√2,0)，C₃(0,√2)中，弦AB₁的“关联点”是_______；
②若点C是弦AB₂的“关联点”，直接写出OC的长.
(2)已知点M(0,3)，N(6√5/5,0).对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围.
　　　　　　　　　　　　
answer:解析　
(1)①C1，C2.
提示：C1A与⊙O相切，C1B1经过点O；C2B1与⊙O相切，C2A经过点O；C3B1与⊙O相切，C3A不经过点O.
②√2.
提示：当AC为⊙O的切线且CB2过点O时，∠COA = 45°，
∴ C(-1,1)；当AC经过点O且CB2为⊙O的切线时，∠COB2 = 45°，
∴ C(√2,0).两种情况中的OC长都是√2.
(2)1≤t≤2√3/3或2√6/3≤t≤√3.
详解：如图1，在MN上任取一点S，作直线SO，交⊙O于点P1、P2，过点S作⊙O的切线，切点为Q(可以作两条，但两条切线长度一样，不影响计算)，连接OQ、QP1、QP2.
　　　　　　
易得△OQS、△QP1P2均为直角三角形，
∴ OQ² + QS² = OS²，QP1² + QP2² = P1P2²，
∵ OQ = OP1 = OP2 = 1，
∴ P1P2 = 2，OS的长越大，则QS的长越大，∠SOQ越大，QP1的长越大，QP2的长越小，故当OS的长最小时，QP1的长最小，QP2的长最大，当OS的长最大时，QP1的长最大，QP2的长最小.
当OS⊥MN时，OS的长最小，如图2，
　　　　　　
易得OS·MN = OM·ON，MN = 9√5/5，
∴ OS = 2，
∵ OQ = 1，OQ⊥QS，
∴ cos∠QOS = 1/2，
∴ ∠QOS = 60°，
∴ △OQP1为等边三角形，
∴ QP1 = 1，
∴ QP2 = √3.
当点S与点M重合时，OS的长最大，如图3，
　　　　　
∵ ∠SQP1 + ∠OQP1 = ∠P2QO + ∠OQP1，
∴ ∠SQP1 = ∠P2QO = ∠QP2O，
∵ ∠QSP1 = ∠P2SQ，
∴ △SQP1∽△SP2Q，
∴ SQ/SP2 = QP1/QP2 = SP1/SQ，
∵ SQ = √(3² - 1²) = 2√2，
∴ 2√2/4 = QP1/QP2 = √2/2，
∴ QP2 = √2QP1，
∵ QP1² + QP2² = P1P2²，
∴ QP1² + 2QP1² = 4，
解得QP1 = 2√3/3或QP1 = -2√3/3(舍去)，
∴ QP2 = 2√6/3.
综上，1≤t≤2√3/3或2√6/3≤t≤√3.