《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

6.如图所示，∠ABC = 30°，∠ABC内有一点P，点P到点B的距离为10 cm，在BA、BC边上各取一点P1、P2，使△PP1P2的周长最小，并求出这个最小值.（保留作图痕迹，并说明结果）

答案：
解析 如图，作点P关于BC的对称点M，作点P关于BA的对称点N，连接MN，分别交BA、BC于点P₁、P₂，则△PP₁P₂即为所求作的三角形.
连接BM，BN，BP，由对称性可知，∠PBP₁ = ∠NBP₁，∠PBP₂ = ∠MBP₂，BM = BN = BP = 10 cm，PP₁ = NP₁，PP₂ = MP₂.
∵∠ABC = 30°，
∴∠MBN = ∠NBP₁ + ∠PBP₁ + ∠MBP₂ + ∠PBP₂ = 2∠PBP₁ + 2∠PBP₂ = 2∠ABC = 60°，
∵BN = BM = 10 cm，
∴△BMN为等边三角形，
∴MN = BM = 10 cm，
∴PP₁ + P₁P₂ + PP₂ = NP₁ + P₁P₂ + MP₂ = MN = 10 cm，
∴△PP₁P₂周长的最小值为10 cm.

7.在直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA = 3，OB = 4，D为边OB的中点，线段EF在边OA上移动，保持EF = 2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E，F的坐标.

答案：
解析 如图，作点D关于x轴的对称点D'，在CB边上截取CG = 2，连接D'G与x轴交于点E，在EA上截取EF = 2，
∵GC//EF，GC = EF，
∴四边形GEFC为平行四边形，
∴GE = CF，又DC、EF的长为定值，
∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小，
∵OE//BC，
∴Rt△D'OE∽Rt△D'BG，
∴$\frac{OE}{BG}=\frac{D'O}{D'B}$，
∴OE=$\frac{D'O\cdot BG}{D'B}=\frac{D'O(BC - CG)}{D'B}=\frac{2\times(3 - 2)}{2 + 4}=\frac{1}{3}$，
∴OF = OE + EF=$\frac{1}{3}+2=\frac{7}{3}$，故点E的坐标为$(\frac{1}{3},0)$，点F的坐标为$(\frac{7}{3},0)$.