《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

17.情境题.中华优秀传统文化(2024北京昌平期末)
(12分)端午节前夕,小明和小华相约一起去超市购买粽子.小明购买A品牌和B品牌粽子各1袋,共花费55元;小华购买A品牌粽子3袋和B品牌粽子2袋,共花费135元.
(1)求A、B两种品牌粽子每袋各是多少元;
(2)端午假期,小明一家回老家探亲,小明妈妈想要再买一些粽子送给亲戚,于是拿出500元交给小明,让他去超市购买A、B两种品牌粽子共18袋,且想要尽量多购入B品牌粽子,请问小明最多购买B品牌粽子多少袋？

答案： 解析
(1)设 $A$ 品牌粽子每袋是 $m$ 元，$B$ 品牌粽子每袋是 $n$ 元，
根据题意得 $\begin{cases}m + n = 55\\3m + 2n = 135\end{cases}$，解得 $\begin{cases}m = 25\\n = 30\end{cases}$，
∴ $A$ 品牌粽子每袋 25 元，$B$ 品牌粽子每袋 30 元.
(2)设小明购买 $B$ 品牌粽子 $x$ 袋，则购买 $A$ 品牌粽子 $(18 - x)$ 袋，
根据题意得 $25(18 - x)+30x\leqslant500$，
解得 $x\leqslant10$，
∴ 小明最多购买 $B$ 品牌粽子 10 袋.

18.(2024北京平谷二模)(12分)如图,线段AB表示2米高的一扇窗户,要在窗户上方C点的位置安装一顶遮阳篷,若已知北京地区冬季太阳光线与水平线夹角的最小值为27°,夏季太阳光线与水平线夹角的最大值为72°,要让冬季太阳光线与水平线夹角最小时温暖的阳光完全照进房间，又能使夏季太阳光线与水平线夹角最大时遮阳篷能完全遮挡炎热的阳光,设遮阳篷的长度CD为x米,遮阳篷的落空高度AC为y米,请你根据设计方案计算x与y的值约为多少.
(sin27°≈0.5,cos27°≈0.9,tan27°≈0.5,sin72°≈1.0,cos72°≈0.3,tan72°≈3.0)

答案： 解析 由题意得 $DC\perp BC$，
由题图 1 可知，在 $Rt\triangle ACD$ 中，$\angle CDA = 27^{\circ}$，
∴ $\tan27^{\circ}=\frac{AC}{CD}=\frac{y}{x}\approx0.5$，
∴ $x = 2y$.
由题图 2 可知，在 $Rt\triangle BCD$ 中，$\angle CDB = 72^{\circ}$，
∴ $\tan72^{\circ}=\frac{BC}{CD}=\frac{y + 2}{x}\approx3$，即 $\frac{y + 2}{2y}\approx3$，解得 $y\approx0.4$，
经检验，$y\approx0.4$ 是原方程的根，
∴ $x = 2y\approx0.8$.
答：遮阳篷的长度 $CD$ 约为 0.8 米，遮阳篷的落空高度 $AC$ 约为 0.4 米.