《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

3.(2023北京房山二模)在平面直角坐标系xOy中，有图形W和点P，我们规定:若图形W上存在点M、N(点M和N可以重合)，满足PM=P'N，其中点P'是点P关于x轴的对称点，则称点P是图形W的“对称平衡点”.
　(1)如图1所示，已知点A(0,2)，点B(3,2).
　　①在点P₁(0,1)，P₂(1,−1)，P₃(4,1)中，是线段AB的“对称平衡点”的是________;
②线段AB上是否存在线段AB的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的“对称平衡点”的横坐标的范围;若不存在,请说明理由.
　(2)如图2，以点A(0,2)为圆心，以1为半径作⊙A.坐标系内的点C满足AC=2，再以点C为圆心，以1为半径作⊙C，若⊙C上存在⊙A的“对称平衡点”，直接写出C点纵坐标yC的取值范围.
　　　　　　　

答案：
解析
(1)①P1,P3.
②不存在,理由:设P为线段AB上任意一点,则它与线段AB上点的距离的最小值为0,最大值为PA和PB中的较大值.
显然PA≤3,PB≤3,点P关于x轴的对称点为P',P'到线段AB上任意一点的距离大于或等于4,
即若M、N是线段AB上的任意两点,则PM≤3,P'N≥4,
∴不存在PM=P'N,
∴线段AB上不存在线段AB的“对称平衡点”.
(2)如图,由②可知0≤yC≤2.

4.(2023北京北师大实验中学丰台学校月考)对于平面直角坐标系xOy中的定点P和图形F，给出如下定义:若在图形F上存在一点N，使得点Q与点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的“定向对称点”.
　(1)如图,A(1,0)，B(1,1)，P(0,2).
　　①点P关于点A的“定向对称点”的坐标是________;
　　②在点M₁(√3,−1)，M₂(0,−1)，M₃(2,0)中，________是点P关于线段AB的“定向对称点”.
　(2)直线l:y=x+b分别与x轴,y轴交于点G,H，⊙M是以点M(3,0)为圆心，以r(r＞0)为半径的圆.当r = 1时，若⊙M上存在点K，使得它关于线段GH的“定向对称点”在线段GH上，求b的取值范围.
　　　　　　　　

答案：
解析
(1)①如图,
∵P(0,2),A(1,0),
∴点P关于直线OA的“定向对称点”为T(0,-2).

②如图,由题意知OP=2,满足条件的点在以O为圆心,以2为半径的圆上(图中弧TM3),
∴点M1和M3是点P关于线段AB的“定向对称点”.

(2)如图,当b＞0时,作☉M关于y轴的对称图形☉M',当直线GH与☉M'在第三象限相切时,设切点为P,连接PM',

由题意得tan∠HGO=1,
∴∠HGM=45°,
∵PM'=1,∠M'PG=90°,
∴M'G=$\sqrt{2}$M'P=$\sqrt{2}$,
∴OG=OM'-M'G=3-$\sqrt{2}$,
∴OH=OG=3-$\sqrt{2}$,
∴直线的解析式为y=x+3-$\sqrt{2}$.
当直线在第二象限与☉M'相切时,同法可得直线的解析式为y=x+3+$\sqrt{2}$,
当直线y=x+b经过点(-2,0)时,b=2,
观察图象可知,满足条件的b的取值范围为2≤b≤3+$\sqrt{2}$.
当b＜0时,如图,以O为圆心,以4为半径作☉O,当直线GH与☉O在第四象限相切于点P时,连接OP,
同法可得OH=4$\sqrt{2}$,此时直线的解析式为y=x-4$\sqrt{2}$,
当直线在第二象限与☉M相切时,同法可得直线的解析式为y=x+$\sqrt{2}$-3,
当直线经过(2,0)时,b=-2,
观察图象可知,满足条件的b的取值范围为-4$\sqrt{2}$≤b≤-2.
综上所述,满足条件的b的取值范围为2≤b≤3+$\sqrt{2}$或-4$\sqrt{2}$≤b≤-2.