《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

20.(2024北京丰台二模,27,★★☆)如图,在等边△ABC中,过点A在AB的右侧作射线AP,设∠BAP = α(60°＜α＜90°),点B与点E关于直线AP对称,连接AE,BE,CE,且BE,CE分别交射线AP于点D,F.
(1)依题意补全图形;
(2)求∠AFE的大小;
(3)用等式表示线段AF,CF,DF之间的数量关系,并证明.

答案：
解析 （1）如图所示：
　　　　　　　
（2）由题意点A是△BEC的外接圆的圆心，
∴ ∠BEC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠BAC=60°，
∴ ∠BEC=30°，
∵ B，E关于直线AP对称，
∴ ∠EDF=90°，
∴ ∠AFE=90° - 30°=60°.
（3）结论：AF+CF=2DF.
理由：如图，连接BF，在BF上截取一点T，使得FC=FT，连接CT.
∵ ∠AFE=60°，
∴ ∠AFC=120°，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=60°，AC=BC，
∴ ∠ABC + ∠AFC=180°，
∴ A，B，C，F四点共圆，
∴ ∠BFC=∠BAC=60°，
∴ △FCT是等边三角形，
∴ CT=CF=FT，∠FCT=60°.
∵ ∠ACB=∠FCT=60°，
∴ ∠BCT=∠ACF，
∵ CB=CA，CT=CF，
∴ △BCT≌△ACF(SAS)，
∴ BT=AF，
∴ AF+CF=BT+FT=BF，
∵ B，E关于直线AP对称，
∴ BF=EF，
∴ ∠FBD=∠FED=30°，
∵ ∠BDF=90°，
∴ BF=2DF，
∴ AF+CF=2DF.

21.(北京常考·图形变换、新定义试题 抽象能力)(2023北京东城月考)在平面直角坐标系xOy中,点P不在坐标轴上,点P关于x轴的对称点为P1,点P关于y轴的对称点为P2,称△P1PP2为点P的“关联三角形”.
(1)已知点A(1,2),求点A的“关联三角形”的面积;
(2)如图,已知点B(m,m),☉T的圆心为(2,2),半径为2,若点B的“关联三角形”与☉T有公共点,直接写出m的取值范围;
(3)已知☉O的半径为r,OP = 2r,若点P的“关联三角形”与☉O有四个公共点,直接写出∠PP1P2的取值范围.

答案：
解析 （1）
∵点A(1，2)关于x轴的对称点为(1，-2)，点A关于y轴的对称点为(-1，2)，
∴ 点A的“关联三角形”的面积=$\frac{1}{2}$×[1 - (-1)]×[2 - (-2)]=4.
（2）2 - $\sqrt{2}$≤m≤4.
详解：如图，作⊙T的外接四边形OADC，连接OD交⊙T于D′，
　　　　　　　
∵ ⊙T的圆心为(2，2)，半径为2，
∴ D(4，4)，
∵ 点B的“关联三角形”与⊙T有公共点，且B(m，m)，
∴ 点B在线段D′D上(包括点D′，点D)，
易得D′(2 - $\sqrt{2}$，2 - $\sqrt{2}$)，
∴ 2 - $\sqrt{2}$≤m≤4.
（3）∠PP₁P₂的取值范围为0°＜∠PP₁P₂＜30°或60°＜∠PP₁P₂＜90°.