《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

三、解答题(本大题共5小题,共52分)
17.(10分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A₁B₁C₁关于点M成中心对称.
(1)在图中标出点M,且点M的坐标为________;
(2)点P(a,b)是△ABC的边AB上一点，△ABC经过平移后，点P的对应点P₂的坐标为(a - 6,b + 2),请画出上述平移后的△A₂B₂C₂,此时A₂的坐标为________,C₂的坐标为________;
(3)若△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂关于点N位似,则点N的坐标为________.

答案：
解析　
(1)如图，线段BB₁的中点即为点M，
∵B(1,1)，B₁(- 1, - 3)，
∴M(0, - 1).
(2)如图，
∵点P(a,b)是△ABC的边AB上一点，△ABC经过平移后，点P的对应点P₂的坐标为(a - 6,b + 2)，
∴将△ABC向左平移了6个单位，向上平移了2个单位，
又
∵A(3,2)，C(4,0)，
∴A₂(- 3,4)，C₂(- 2,2).
(3)如图，连接B₁B₂，A₁A₂，交于点(- 3,0)，
∴N(- 3,0).
　　　　　

18.(10分)教材变式.P7例3如图,四边形ABCD中,AB//CD,AE为高,且AE = 12,BD = 15,AC = 20.
(1)求AB + CD的长;
(2)求证:AC⊥BD.

答案：
解析　
(1)如图，过点A作AF//BD，交CD的延长线于F，
∵AB//CD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，AF=BD，
∵AE为高，AE=12，AF=BD=15，AC=20，
∴在Rt△AEF中，EF=$\sqrt{AF² - AE²}$=$\sqrt{15² - 12²}$=9，
在Rt△AEC中，EC=$\sqrt{AC² - AE²}$=$\sqrt{20² - 12²}$=16，
∴AB+CD=DF+CD=CF=9+16=25.
　　　　　
(2)证明：
∵AF=15，AC=20，CF=25，
∴AF²+AC²=CF²，
∴∠FAC=90°，
∴AF⊥AC，
∵AF//BD，
∴AC⊥BD.

19.(10分)(2023湖北中考)如图,将边长为3的正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M落在边AD上(点M不与点A,D重合),点C落在点N处,MN与CD交于点P,折痕分别与边AB,CD交于点E,F,连接BM.
(1)求证:∠AMB = ∠BMP;
(2)若DP = 1,求MD的长.

答案： 解析　
(1)证明：点B、M关于线段EF对称，由翻折的性质可知∠MBC=∠BMP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴∠MBC=∠AMB，
∴∠AMB=∠BMP.
(2)设MD=x，则AM=3 - x，设AE=y，则EM=EB=3 - y.在Rt△AEM中，AE²+AM²=EM²，
∴y²+(3 - x)²=(3 - y)²，
∴y=-$\frac{1}{6}$x²+x，即AE=-$\frac{1}{6}$x²+x.
∵∠ABC=∠EMN=90°，
∴∠AME+∠DMP=90°，
又
∵∠AEM+∠AME=90°，
∴∠AEM=∠DMP，
∵∠A=∠D，
∴△AEM∽△DMP.
∴$\frac{DP}{AM}$=$\frac{MD}{AE}$，
∴$\frac{1}{3 - x}$=$\frac{x}{-\frac{1}{6}x² + x}$，整理得$\frac{5}{6}$x²=2x，
∴x=$\frac{12}{5}$或x=0(舍去).
∴MD=$\frac{12}{5}$.