《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

7.(2024北京十二中月考)如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点，若AB = √3，AD = 1，以下结论：①BD = CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC = $\frac{3 - √3}{2}$；④在旋转过程中，△MBC的最大面积为$\frac{3}{2}$.其中正确的结论有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
　　　

答案：
D 
∵△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，
∴BA = CA，DA = EA，∠BAC = ∠DAE = 90°，
∴∠BAD = ∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD = CE，∠ABD = ∠ACE，故①正确；设∠ABD = ∠ACE = x，
∴∠DBC = 45° - x，
∴∠EMB = ∠DBC + ∠BCM = ∠DBC + ∠BCA + ∠ACE = 45° - x + 45° + x = 90°，
∴BD⊥CE，故②正确；当点E在BA的延长线上时，如图所示，
　　　　　　　　
同理可得∠DMC = 90°，
∴∠DMC = ∠EAC，
∵∠DCM = ∠ECA，
∴△DCM∽△ECA，
∴MC/AC = CD/EC，
∵AB = √3 = AC，AD = 1 = AE，
∴CD = AC - AD = √3 - 1，CE = √(AE² + AC²) = 2，
∴MC/√3 = (√3 - 1)/2，
∴MC = (3 - √3)/2，故③正确；以A为圆心，AD长为半径画圆，当点E在CA的延长线上，点D在BA的延长线上，点M与点A重合时，如图所示，这时MB、MC的值最大，
∴△MBC的最大面积为1/2AB·AC = 1/2×√3×√3 = 3/2，故④正确.
　　　　　　　　
综上所述，正确的结论有4个，故选D.

8.(2024重庆沙坪坝期末)如图，在等边△ABC中，AB = 7，D为边BC上一点，BD = 2，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转60°得到ED，ED交AC于点F，则$\frac{DF}{EF}$的值为 ( )
A.3
B.$\frac{5}{2}$
C.$\frac{3√3}{2}$
D.$\frac{9}{4}$
　　

答案：
B 如图，过点F作FH⊥BC于H，FN⊥CE于N，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB = BC = AC = 7，∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°.由题意得△ADE为等边三角形，
∴AD = AE，∠DAE = 60° = ∠BAC，
∴∠BAD = ∠CAE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD = CE，∠ABC = ∠ACE = 60°，
∵BD = 2，
∴CD = 5，CE = 2，
∵∠ACE = 60° = ∠ACB，BC⊥FH，CE⊥FN，
∴FN = FH，S△CEF/S△CFD = EF/DF = (1/2CE·FN)/(1/2CD·FH)，
∴EF/DF = CD/CE = 5/2.故选B.
　　　　　　　

9.(2024山东枣庄三模)如图，已知矩形OABC与矩形FODE是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为(2，4)，点E的坐标为(-1，2)，则点P的坐标为 .
　　

答案： 答案 (-2，0)
解析
∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为(2，4)，
∴OC = AB = 4，OA = 2，
∴点C的坐标为(0，4)，
∵矩形OABC与矩形FODE是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为(-1，2)，
∴OD = 2，矩形FODE与矩形OABC的位似比为1∶2，
∴OP∶AP = OD∶AB = 1∶2，设OP = x，则x/(x + 2) = 1/2，解得x = 2，
∴OP = 2，
∴点P的坐标为(-2，0).

10. 新独家原创 如图，在顶角为120°的等腰△ABC中，绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△DEC，点D在BC上，连接BE，则∠BED的度数是 .
　　

答案： 答案 45°
解析
∵AB = AC，∠A = 120°，
∴∠ABC = ∠ACB = 30°，由旋转的性质知，∠ACB = ∠ABC = ∠DCE = ∠DEC = 30°，CB = CE，
∴∠CEB = ∠CBE = 75°，
∴∠BED = ∠CEB - ∠CED = 75° - 30° = 45°.

11.(2024山东潍坊二模)已知一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 .(附：球的表面积公式S球 = 4πr²，其中r为球的半径)
　

答案： 答案 4π
解析 由这个几何体的三视图可知，这个几何体由一个底面直径为2，高为1的半球与一个底面直径为2，高为√3的圆锥组合而成，计算可得圆锥的母线长为2，故这个几何体的表面积 = 1/2×4π×1² + 1/2×2π×2 = 4π.

12. 易错题(2024四川雅安中考)如图，在△ABC和△ADE中，AB = AC，∠BAC = ∠DAE = 40°，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD//BC时，∠BAE的度数是 .
　　

答案：
答案 30°或150°
解析 当点D在点A的左侧时，如图1所示.
∵AB = AC，∠BAC = 40°，
∴∠ABC = 1/2(180° - ∠BAC) = 70°.
∵AD//BC，
∴∠BAD = ∠ABC = 70°，
∴∠BAE = ∠BAD - ∠DAE = 70° - 40° = 30°.
　　　　
当点D在点A的右侧时，如图2所示.
∵AB = AC，∠BAC = 40°，
∴∠ACB = 1/2(180° - ∠BAC) = 70°.
∵AD//BC，
∴∠DAC = ∠ACB = 70°，
∴∠BAE = ∠BAC + ∠DAC + ∠DAE = 40° + 70° + 40° = 150°.
∴当AD//BC时，∠BAE的度数为30°或150°.
　　　　
易错提醒
当AD//BC时，要分两种情况讨论，一种是点D在点A的左侧，另一种是点D在点A的右侧，本题易因考虑不周而漏解.

13. 新独家原创 一题多解 如图，在平面直角坐标系中，曲线AB是双曲线y = $\frac{1}{x}$在第一象限的一部分，将曲线AB平移得到曲线A'B'，则图中阴影部分的面积是 .
　　　　　　　　　　　　

答案：
答案 16/3
解析
∵A、B两点都在双曲线y = 1/x上，A点的纵坐标是3，B点的横坐标是3，
∴A(1/3，3)，B(3，1/3)，
∵A'的纵坐标是4，B'的横坐标是4，
∴将曲线AB向上平移1个单位，再向右平移1个单位即可得到曲线A'B'.
解法一：如图，连接AB，A'B'，根据勾股定理可得AB = √((3 - 1/3)² + (3 - 1/3)²) = 8√2/3，AA' = √2，由平移的性质可知，S阴影 = S矩形ABB'A' = 8√2/3×√2 = 16/3.
　　　　　　　
解法二：辅助线如图所示，S阴影 = S正方形EFGH - S△AA'F - S△BB'H - S△A'GB' - S△AEB = (4 - 1/3)×(4 - 1/3) - 1/2×1×1 - 1/2×1×1 - 1/2×(4 - 1/3 - 1)×(4 - 1/3 - 1) - 1/2×(3 - 1/3)×(3 - 1/3) = 121/9 - 1/2 - 1/2 - 32/9 - 32/9 = 16/3.
　　　　　　　

14. 新考向·规律探究题(2023北京西城期末)将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4)放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻转90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换.若骰子的初始位置为图1所示的状态，则按上述规则连续完成14次变换后，骰子朝上一面的点数是 .

答案： 答案 6
解析 根据题意可知，连续3次变换是一个循环.14÷3 = 4……2，所以得到第2次变换后的图形，即按题中规则连续完成14次变换后，骰子朝上一面的点数是6.