《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

3.（2022北京西城期中）阅读下列材料：
问题：如图1，已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF = 45°.判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由.
小明同学的想法：已知条件比较分散，可以利用旋转变换将分散的已知条件集中在一起.于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论.
请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（M9223003）
（1）图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系是____________；
（2）如图1，已知正方形ABCD的边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF = 45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为________，△EFC的周长为______；
（3）如图2，已知△AEF中，∠EAF = 45°，AG⊥EF于点G，且EG = 2，GF = 3，求△AEF的面积.
　　　　　　　 　
　　　　　　　　　　　　　

答案：
解析 （1）
∵将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，
∴∠DAF = ∠BAH，AF = AH，DF = HB，∠FAH = 90°，
∵∠EAF = 45°，
∴∠EAH = ∠EAF = 45°，
在△FAE和△HAE中，$\begin{cases}AF = AH \\ \angle FAE = \angle HAE \\ AE = AE\end{cases}$，
∴△FAE≌△HAE(SAS)，
∴EF = HE = BE + HB，
∴EF = BE + DF.故填EF = BE + DF.
（2）由
(1)可知△FAE≌△HAE，
∵AG、AB分别是△FAE与△HAE的高，
∴AG = AB = 5.
在Rt△AEG与Rt△AEB中，$\begin{cases}AE = AE \\ AG = AB\end{cases}$，
∴Rt△AEG≌Rt△AEB(HL)，
∴EG = BE，
∴HB = GF = DF，
∴△EFC的周长 = EC + EG + GF + FC = EC + BE + DF + FC = BC + CD = 10.
（3）将△AEF放置于题图1中，并删去虚线，如图.
∵EG = 2，GF = 3，
∴BE = 2，DF = 3，EF = 5.
设AB = x，则CE = x - 2，CF = x - 3，
在△CEF中，
∵∠C = 90°，
∴FC² + EC² = EF²，
∴(x - 3)² + (x - 2)² = 5²，解得x₁ = -1(舍去)，x₂ = 6，
∴AB = 6，
∴AG = AB = 6，
∴△AEF的面积 = $\frac{1}{2}$EF·AG = $\frac{1}{2}$×5×6 = 15.

4.如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC = 1：2：3，求∠APB的度数.
小明同学的想法：不妨设PA = x，PB = 2x，PC = 3x，设法把PA、PB、PC集中在一起，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连接PE，问题得以解决.（M9223003）
（1）图2中∠APB = ________°.
（2）请参考小明同学的方法，解决问题.
如图3，P是等边△ABC内一点，PA：PB：PC = 3：4：5，求∠APB的度数.
　　　　　　

　 　　　　　
　　　　　　

答案：
解析 （1）135.详解：根据旋转的性质知∠PBE = 90°，△BCP≌△BAE，
∴BP = BE，PC = AE，
∴∠BPE = ∠BEP = 45°，PE = $\sqrt{2}$PB.
∵PA∶PB∶PC = 1∶2∶3，
∴设PA = x，PB = 2x，PC = 3x，
∴AE = PC = 3x，PE = 2$\sqrt{2}$x，
∴AE² = AP² + PE²，
∴∠APE = 90°，
∴∠APB = ∠APE + ∠BPE = 90° + 45° = 135°.
（2）如图，将△BCP绕点B顺时针旋转60°得到△BAM，连接PM，
根据旋转的性质知∠PBM = 60°，△BCP≌△BAM.
∴PB = BM，
∴△PBM是等边三角形，
∴∠BPM = ∠PBM = 60°，
∵PA∶PB∶PC = 3∶4∶5，
∴设PA = 3x，PB = 4x，PC = 5x，
∴AM = PC = 5x，BM = PB = PM = 4x，
∴AM² = PA² + PM²，
∴∠APM = 90°，
∴∠APB = 90° + 60° = 150°.