《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

1. 如图，△ABC中，AB = AC，∠A = 40°，D点在边AB上运动（D与A、B不重合），设∠ACD = α°，将△ACD沿CD翻折至△A'CD，CA'与AB边相交于点E. 若△A'DE是等腰三角形，则α的值为（M9223004） （ ）
A. 15°或30° B. 15° C. 30°或60° D. 60°

答案：
A。△DEA'为等腰三角形时，根据折叠变换的性质可得∠A' = ∠A = 40°，∠ACD = ∠ECD.
①如图，当DA' = DE时，∠A'ED = ∠A' = 40°，
∴ ∠ACE = ∠A'ED - ∠A = 40° - 40° = 0°，显然不符合题意.

②如图，当EA' = DA'时，
∵ ∠A' = 40°，

∴ ∠A'DE = ∠A'ED = $\frac{180° - 40°}{2}$ = 70°，
∴ ∠ACE = ∠A'ED - ∠A = 70° - 40° = 30°，
∴ ∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ACE = 15°.
③如图，当DE = EA'时，∠A' = ∠EDA' = 40°，

∴ ∠A'ED = 180° - 40° - 40° = 100°，
∴ ∠ACE = ∠A'ED - ∠A = 100° - 40° = 60°，
∴ ∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ACE = 30°. 故答案为15°或30°. 故选A.

2.（2024北京人大附中期中）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D = 80°，则∠ECF的度数是________.

答案： 答案 40°
解析
∵ 将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，
∴ ∠BCE = ∠FCE，BC = CF，
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ BC//AD，BC = CD，
∴ CF = CD，
∴ ∠CFD = ∠D = 80°，
∵ BC//AD，
∴ ∠BCF = ∠CFD = 80°，
∴ ∠ECF = 40°.

3.（2024北京北师大实验中学月考）如图，直线AB//CD，直线l与直线AB，CD相交于点E，F，点P是射线EA上的一个动点（不包括端点E），将△EPF沿PF折叠，使顶点E落在点Q处. 若∠PEF = 52°，点Q恰好落在其中一条平行线上，则∠EFP的度数为________.

答案：
答案 38°或64°
解析 分两种情况：
当点Q落在AB上时，如图：

由折叠得∠QPF = ∠EPF，
∴ ∠QPF = ∠EPF = 90°，
∵ ∠PEF = 52°，
∴ ∠EFP = 90° - ∠PEF = 38°；
当点Q落在CD上时，如图：

∵ AB//CD，
∴ ∠EFD = ∠PEF = 52°，
∴ ∠EFQ = 180° - ∠EFD = 128°，
由折叠得∠EFP = ∠PFQ = $\frac{1}{2}$∠EFQ = 64°.
综上所述，∠EFP的度数为38°或64°.

4.（方程思想）（2023北京海淀五十七中期中）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线AC上的点D'处，若AB = 3，AD = 4，则ED的长为（ ）
A. $\frac{4}{3}$ B. 3 C. 1 D. $\frac{3}{2}$

答案： D 在矩形ABCD中，
∵ DC = AB = 3，BC = AD = 4，
∴ AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}$ = 5，根据折叠可得△DEC≌△D'EC，
∴ D'C = DC = 3，DE = D'E，
∴ AD' = AC - CD' = 2，设ED = x，则D'E = x，AE = 4 - x，在Rt△AED'中，
AD'² + ED'² = AE²，即2² + x² = (4 - x)²，解得x = $\frac{3}{2}$.
方法解读
应用方程思想求解折叠问题的一般步骤：①设所求线段的长为x；②用含x的式子表示出相关线段的长；③在直角三角形中利用勾股定理列方程，并求解.

5.（2024四川自贡中考）如图，在矩形ABCD中，AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF折叠，使点A，B分别落在边AD、BC上的点A'，B'处，EF，A'F分别交AC于点G，H. 若GH = 2，HC = 8，则BF的长为（ ）
A. $\frac{20\sqrt{2}}{9}$ B. $\frac{20\sqrt{3}}{9}$ C. $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ D. 5

答案： A。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ $\frac{AE}{FC}=\frac{AG}{GC}$，$\frac{AA'}{FC}=\frac{AH}{HC}$，
∵ 2AE = AA'，
∴ $\frac{2AE}{FC}=\frac{AA'}{FC}$，
∴ $\frac{2AG}{GC}=\frac{AH}{HC}$，
∴ $\frac{2AG}{2 + 8}=\frac{AG + 2}{8}$，
∴ AG = $\frac{10}{3}$，
∵ AF平分∠BAC，
∴ ∠BAF = ∠FAG，
∵ EF//AB，
∴ ∠BAF = ∠AFG，
∴ ∠FAG = ∠AFG，
∴ FG = AG = $\frac{10}{3}$，
∴ CF = $\sqrt{CG^{2}-FG^{2}}$ = $\sqrt{10^{2}-(\frac{10}{3})^{2}}$ = $\frac{20\sqrt{2}}{3}$，
∵ BF : CF = AG : CG = 1 : 3，
∴ BF = $\frac{1}{3}$CF = $\frac{20\sqrt{2}}{9}$.

6.（2023湖南邵阳中考）如图，在矩形ABCD中，AB = 2，AD = $\sqrt{7}$，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动. 当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB'P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB'的最小值为________.

答案：
答案 $\sqrt{11}-2$
解析 连接AC，在矩形ABCD中，AB = 2，AD = $\sqrt{7}$，
∴ BC = AD = $\sqrt{7}$，AC = $\sqrt{BC^{2}+AB^{2}}$ = $\sqrt{7 + 4}$ = $\sqrt{11}$，
当点P在BC上时，如图所示，

∵ AB' = AB = 2，
∴ 点B'在以点A为圆心，2为半径的弧上运动，
当A，B'，C三点共线，且B'在AC上时，CB'最短，
此时CB' = AC - AB' = $\sqrt{11}-2$；
当点P在DC上时，如图所示，
根据三角形三边关系可知，CB' ＞ AC - AB'，即CB' ＞ $\sqrt{11}-2$；

当点P在AD上时，如图所示，
根据三角形三边关系可知，CB' ＞ AC - AB'，即CB' ＞ $\sqrt{11}-2$.

综上所述，CB'的最小值为$\sqrt{11}-2$，故答案为$\sqrt{11}-2$.

7.（一题多解）（2022北京海淀期中）如图，在△ABC中，∠A = 90°，BC = 5，AC = 3，现将△ABC折叠使点B与点C重合，求折痕DE的长.（M9223004）

答案： 解析 [解法一]相似三角形法：在Rt△ABC中，
AB = $\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-3^{2}}$ = 4.
由折叠的性质得，DE⊥BC，BE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{5}{2}$，
∴ ∠BED = ∠A = 90°.
∵ ∠B = ∠B，
∴ △BED∽△BAC，
∴ BE : BA = DE : AC，
∴ DE = $\frac{BE·AC}{BA}$ = $\frac{\frac{5}{2}×3}{4}$ = $\frac{15}{8}$.
[解法二]解方程法：在Rt△ABC中，AB = $\sqrt{BC^{2}-AC^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-3^{2}}$ = 4.
由折叠的性质得，DE⊥BC，BD = CD，BE = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{5}{2}$.
设BD = x，则CD = x，AD = 4 - x，
在Rt△ADC中，AD² + AC² = CD²，即(4 - x)² + 3² = x²，解得x = $\frac{25}{8}$，
∴ BD = $\frac{25}{8}$.
在Rt△BDE中，DE = $\sqrt{BD^{2}-BE^{2}}$ = $\sqrt{(\frac{25}{8})^{2}-(\frac{5}{2})^{2}}$ = $\frac{15}{8}$. 故折痕DE的长为$\frac{15}{8}$.