《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

8.最值问题(2024北京一〇一中学月考)如图,在Rt△ABC中$,∠ACB = 90°,AC = BC = 4\sqrt{2},$点D为AB的中点,点P在AC上,且CP = 1,将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q,连接AQ、DQ,当∠ADQ = 90°时,AQ的最大值为(　　)

A.2
B.$\sqrt{5}$
C.5
D.$\sqrt{41}$

答案：
D。如图，以点C为圆心，以CP的长为半径作圆，连接DC并延长，交⊙C于点Q′和Q，连接AQ，
∵∠ACB=90°，AC=BC=4$\sqrt{2}$，
∴AB=8，
∵点D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=AD=4，
∵CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴点Q在以点C为圆心，CP长为半径的圆上，
∵∠ADQ=90°，
∴C、D、Q三点共线，由图可知，Q可能在线段CD上，也可能在DC的延长线上.要求AQ的最大值，即求图中AQ的长，
∵CD=AD=4，
∴QD=CD+CQ=4+1=5，
∴AQ的最大值为$\sqrt{4² + 5²}$=$\sqrt{41}$.故选D
　　　　　　　

二、填空题(每小题3分,共24分)
9.在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心,作△ABC的位似图形,若点D是点C的对应点，则点A的对应点是点________.(M9223006)

答案： 答案　H
解析　设网格中小正方形的边长均为1，
∵OC=2，OD=4，
∴△ABC与其位似图形的相似比为1∶2，连接OA，OH，则OH=2OA，
∴点A的对应点是点H.

10.(2024北京八中期中)如图,第一象限内有两点P(m - 3,n),Q(m + 1,n - 3),将线段PQ平移,使点P、Q分别落在两条坐标轴上,则点P平移后的对应点的坐标是______________.

答案： 答案　(0,3)或(- 4,0)
解析　设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′.分两种情况：①P′在y轴上，Q′在x轴上，则P′的横坐标为0，Q′的纵坐标为0，
∴n - (n - 3)=3，
∴点P平移后的对应点的坐标是(0,3)；②P′在x轴上，Q′在y轴上，则P′的纵坐标为0，Q′的横坐标为0，
∴m - 3 - (m + 1)= - 4，
∴点P平移后的对应点的坐标是(- 4,0).综上可知，点P平移后的对应点的坐标是(0,3)或(- 4,0).
易错警示
本题未指明平移后哪个点落在x轴或y轴上，因此要分情况讨论，避免漏解.

11.如图,△ABC为等边三角形,将边BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜60°),得到线段BP,连接CP,过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H,连接AP,则∠PAH的度数为________.

答案： 答案　60°
解析
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，AB=BC，
∵将边BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜60°)，得到线段BP，
∴∠CBP=θ，AB=BC=BP，
∴∠ABP=60° - θ，∠BCP=∠BPC=(180° - θ)÷2=90° - $\frac{θ}{2}$，
∴∠BPA=∠BAP=[180° - (60° - θ)]÷2=60° + $\frac{θ}{2}$，
∠BPH=180° - ∠BPC=90° + $\frac{θ}{2}$，
∵AH⊥CP，
∴∠AHP=90°，
∴∠PAH=360° - ∠ABP - ∠BPH - ∠AHP - ∠BAP=360° - (60° - θ) - (90° + $\frac{θ}{2}$) - 90° - (60° + $\frac{θ}{2}$)=60°.

12.(2024四川广安中考)如图,直线y = 2x + 2与x轴、y轴分别相交于点A,B,将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD,则点D的坐标为________.

答案： 答案　(- 3,1)
解析　当x=0时，y=2×0 + 2=2，
∴点B的坐标为(0,2)，
∴OB=2.当y=0时，2x + 2=0，解得x= - 1，
∴点A的坐标为(- 1,0)，
∴OA=1.根据旋转的性质，可得出CD=OB=2，AC=AO=1，AC⊥x轴，CD//x轴，
∴点D的坐标为(- 1 - 2,1)，即(- 3,1).

13.(2024四川内江中考)如图,在矩形ABCD中,AB = 3,AD = 5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处,那么tan∠EFC = ________.

答案： 答案　$\frac{4}{3}$
解析
∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD=5，CD=AB=3，∠B=∠C=90°，
∵矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，
∴AF=AD=5，EF=DE，
∴在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{AF² - AB²}$=4，
∴CF=BC - BF=5 - 4=1，设CE=x，则EF=DE=CD - CE=3 - x，
∵在Rt△ECF中，CE²+FC²=EF²，
∴x²+1²=(3 - x)²，解得x=$\frac{4}{3}$，
∴CE=$\frac{4}{3}$，
∴tan∠EFC=$\frac{CE}{FC}$=$\frac{4}{3}$.

14.在平面直角坐标系中，一个动点从原点出发，当其所在位置的横、纵坐标之和是3的倍数时就向右平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余1时就向上平移一个单位长度；当其所在位置的横、纵坐标之和除以3余2时就向下平移两个单位长度,即起点坐标为(0,0),第一次平移到(1,0),第二次平移到(1,1),第三次平移到(1,-1)，……,这个动点第2024次平移到________.

答案： 答案　(675, - 673)
解析　根据动点的移动规律知，第一次平移到(1,0)，第二次平移到(1,1)，第三次平移到(1, - 1)，第四次平移到(2, - 1)，第五次平移到(2,0)，第六次平移到(2, - 2)，第七次平移到(3, - 2)，第八次平移到(3, - 1)，第九次平移到(3, - 3)，……，
∵2024÷3=674……2，
∴这个动点第2024次平移到(674 + 1, - 674 + 1)，即(675, - 673).

15.(2022北京丰台期末)在平面直角坐标系xOy中,横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图,点A的坐标为(2,4),点B的坐标为(1,1),点C为第一象限内的整点.若以不共线的A,B,C三点为顶点的三角形是轴对称图形,则点C的坐标可以是________(写出一个即可),在如图所示的8×8的网格中,满足题意的点C的个数为________.

答案：
答案　(3,1)(答案不唯一)；6
解析　本题易因考虑不全而将C点个数弄错.由题意可知，△ABC是等腰三角形，如图，点C的坐标可以是(3,1)(答案不唯一)，符合要求的点C共有6个.
　　　　　　

16.分类讨论思想(2024江苏盐城中考)如图,在△ABC中$,∠ACB = 90°,AC = BC = 2\sqrt{2},$点D是AC的中点,连接BD,将△BCD绕点B旋转,得到△BEF,连接CF,当CF//AB时,CF = ________.

答案：
答案　2 + $\sqrt{6}$
解析
∵∠ACB=90°，AC=BC=2$\sqrt{2}$，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵点D是AC的中点，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{CD² + BC²}$=$\sqrt{(\sqrt{2})² + (2\sqrt{2})²}$=$\sqrt{10}$，
∵将△BCD绕点B旋转得到△BEF，
∴BF=BD=$\sqrt{10}$，
如图，过点B作BG⊥CF于点G，
　　　　　　　
∵CF//AB，
∴∠FCB=∠CBA=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BG=2，
在Rt△BFG中，FG=$\sqrt{BF² - BG²}$=$\sqrt{(\sqrt{10})² - 2²}$=$\sqrt{6}$，
∴CF=CG+FG=2 + $\sqrt{6}$.