《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

5.(2024北京海淀一模)在平面直角坐标系xOy中，对于图形M与图形N给出如下定义:P为图形N上任意一点，将图形M绕点P顺时针旋转90°得到M'，将所有M'组成的图形记作M''，称M''是图形M关于图形N的“关联图形”.
　(1)已知A(−2,0)，B(2,0)，C(2,t)，其中t≠0.
①若t = 1，请在图中画出点A关于线段BC的“关联图形”;
②若点A关于线段BC的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出t的取值范围.
　(2)对于平面上一条长度为a的线段和一个半径为r的圆，点S在线段关于圆的“关联图形”上，记点S的纵坐标的最大值和最小值的差为d，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出d的取值范围(用含a和r的式子表示).
　　　　　

答案：
解析
(1)①如图,线段B'C'即为所求.

②t≤-4或t≥2.
(2)画出分析图,如图所示,线段AB的长度为a,圆N的半径为r,点A、B分别绕点N顺时针旋转90°得到N1,N2,

分析可知△BNP∽△BN1Q且相似比为1:$\sqrt{2}$,
可得圆N1,N2的半径均为$\sqrt{2}$r,
∴2$\sqrt{2}$r≤d≤2$\sqrt{2}$r+a.

6.(2023北京门头沟二模)在平面直角坐标系xOy中，线段AB = 4，点M,N在线段AB上，且MN = 2，P为MN的中点，如果任取一点Q，将点Q绕点P顺时针旋转180°得到点Q'，则称点Q'为点Q关于线段AB的“旋平点”.
　(1)如图1，已知A(−1,0)，B(3,0)，Q(1,2)，如果Q'(a,b)为点Q关于线段AB的“旋平点”，画出示意图，写出a的取值范围;
　(2)如图2，⊙O的半径为3，点A,B在⊙O上，点Q(1,0)，如果在直线x = m上存在点Q关于线段AB的“旋平点”，求m的取值范围.
　　　　　　

答案：
解析
(1)如图,当线段MN一端与A重合时,中点P与O重合,连接OQ,将点Q绕点O顺时针旋转180°得到点Q1,
由中心对称得点Q1的坐标为(-1,-2);
当线段MN一端与B重合时,中点P的坐标为(2,0),
连接PQ,将点Q绕点P顺时针旋转180°得到点Q2,
由中心对称得点Q2的坐标为(3,-2),
∴-1≤a≤3.

(2)
∵点Q在x轴上,
∴当点P也在x轴上时,点Q'的横坐标有最值,当点P在x轴上时,连接OM,则OM⊥AB,
∴BM=AM=$\frac{1}{2}$×4=2,
∵☉O的半径为3,
∴OM=$\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$,
∵PM=1,
∴OP=$\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}$.
如图1,当点P在x轴负半轴上时,PQ=$\sqrt{6}$+1,

∴QQ'=2PQ=2$\sqrt{6}$+2,
∵1-(2$\sqrt{6}$+2)=-2$\sqrt{6}$-1,
∴Q'(-2$\sqrt{6}$-1,0);
如图2,当点P在x轴正半轴上时,PQ=$\sqrt{6}$-1,

∴QQ'=2PQ=2$\sqrt{6}$-2,
∵1+(2$\sqrt{6}$-2)=2$\sqrt{6}$-1,
∴Q'(2$\sqrt{6}$-1,0),
∴-2$\sqrt{6}$-1≤m≤2$\sqrt{6}$-1.