《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

1.（2024 北京东城一模）一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为 1,2,3. 随机摸出一个小球后放回，摇匀后再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号相同的概率为（ ）
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{9}$

答案： B 列表如下：
| | 1 | 2 | 3 |
|----|----|----|----|
| 1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) |
| 2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) |
| 3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) |
共有 9 种等可能的结果，其中两次摸出的小球标号相同的结果有 3 种，
∴ 两次摸出的小球标号相同的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$. 故选 B.

2.（2024 河北中考）甲、乙、丙三张卡片正面分别写有$a + b$，$2a + b$，$a - b$，除正面的代数式不同外，其余均相同.
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当$a = 1$，$b = - 2$时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率.
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张.
请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.

答案： 解析
(1) 当$a = 1,b = - 2$时，$a + b = - 1,2a + b = 0,a - b = 3$，即卡片上代数式的值分别是 - 1,0,3. 将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，共有 3 种等可能的结果，其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有 1 种，
∴ 取出的卡片上代数式的值为负数的概率为$\frac{1}{3}$.
(2) 补全表格如下：
| 第一次和第二次 | $a + b$ | $2a + b$ | $a - b$ |
|----|----|----|----|
| $a + b$ | $2a + 2b$ | $3a + 2b$ | $2a$ |
| $2a + b$ | $3a + 2b$ | $4a + 2b$ | $3a$ |
| $a - b$ | $2a$ | $3a$ | $2a - 2b$ |
共有 9 种等可能的结果，代数式之和为单项式的结果有 4 种，
∴ 代数式之和为单项式的概率为$\frac{4}{9}$.

3.（2023 河北保定模拟）有一个从袋子中摸球的游戏，小红根据游戏规则画出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是（ ）

A. 随机摸出一个球后放回，再随机摸出 1 个球
B. 随机摸出一个球后不放回，再随机摸出 1 个球
C. 随机摸出一个球后放回，再随机摸出 2 个球
D. 随机摸出一个球后不放回，再随机摸出 2 个球

答案： B

4.（2024 山西中考）一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同. 从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是（ ）
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{5}{9}$

答案： B 列表如下：
| | 红 | 白 | 绿 |
|----|----|----|----|
| 红 | | (红,白) | (红,绿) |
| 白 | (白,红) | | (白,绿) |
| 绿 | (绿,红) | (绿,白) | |
共有 6 种等可能的结果，其中两次摸到的球恰好有一个红球的结果有 (红,白),(红,绿),(白,红),(绿,红)，共 4 种，
∴ 两次摸到的球恰好有一个红球的概率为$\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

5.（2022 湖北仙桃中考）从 2 名男生和 2 名女生中任选 2 名学生参加志愿者服务，那么选出的 2 名学生中至少有 1 名女生的概率是__________.

答案：
答案 $\frac{5}{6}$
解析 画树状图如图所示:

共有 12 种等可能的结果，其中选出的 2 名学生中至少有 1 名女生的结果有 10 种，
∴ 选出的 2 名学生中至少有 1 名女生的概率是$\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$.

6. 情境题·中华优秀传统文化（2024 四川达州中考）“四大名著”《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》是中华优秀文化的重要组成部分. 某校七年级准备从这四部名著中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本）开展“名著共读”活动，则该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率是__________.

答案：
答案 $\frac{1}{6}$
解析 记《红楼梦》《水浒传》《三国演义》《西游记》分别为 A、B、C、D，画树状图如下:

由图可得，共有 12 种等可能的结果，其中该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的结果有 2 种，故该年级的学生恰好抽取到《三国演义》和《西游记》的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.