《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

23. [答案含评分细则] 新考向·新定义试题(9分)在平面内，先将一个多边形以自身的一个顶点为位似中心放大或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称.例如：如图1，先将△ABC以点A为位似中心缩小，得到△ADE，再将△ADE沿过点A的直线l翻折，得到△AFG，则△ABC和△AFG成自位似轴对称.
(1)如图2，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足为D.下列3对三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB.其中成自位似轴对称的是 .(填序号)
(2)如图3，在△ABC中，D是BC的中点，E为△ABC内一点，∠ABE = ∠C，∠BAE = ∠CAD，连接DE，求证：DE//AC.
　　　　　
　　　　

答案：
解析
(1)由图1，2，可知△ABC和△ACD，△BAC和△BCD成自位似轴对称.
　　　
故答案为①②. ………………………………… 2分
(2)证明：如图，延长BE交AC于F，
　　　　　　　
……………………………………………… 3分
∵∠ABE = ∠C，∠BAE = ∠CAD，
∴△ABE∽△ACD，
∴BE/CD = AE/AD，…………………………………… 5分
∵∠BAE = ∠CAD，
∴∠BAE + ∠DAE = ∠CAD + ∠DAE，
∴∠BAD = ∠FAE，
∵∠AEF = ∠ABE + ∠BAE，∠ADB = ∠CAD + ∠C，
∴∠AEF = ∠ADB，
∴△EAF∽△DAB，
∴EF/BD = AE/AD，
∴BE/CD = EF/BD. ……………………… 8分
∵点D是BC的中点，
∴CD = BD，
∴BE = EF，
∴DE//AC. ……………………… 9分

24. [答案含评分细则] 数学文化·费马点(2024山东潍坊潍城二模)(10分)在△ABC中，∠B = 90°，AB = 4√3，BC = 4，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，点G是△ABC内部或边上一点，连接AG，CG，线段AG绕点A顺时针旋转60°后的对应线段为AM，连接DM.
(1)在图1中，若点G在边AB上，则线段DM与线段CG之间的数量关系是 ，线段DM与线段CG所在的两条直线相交所形成的锐角的度数为 ；
(2)在图2中，若点G在△ABC内部，判断(1)中的结论是否成立，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，连接GB，求GA + GB + GC的最小值，并说明此时CG//AM.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　
　　　　　　　　　　　　　

　　　　

答案：
解析
(1)DM = CG；60°. ……………………… 2分
(2)成立，理由：延长DM交CG的延长线于Q， …
……………………………………………… 3分
　　　　　　　　
∵线段AG绕点A顺时针旋转60°后的对应线段为AM，
∴AG = AM，∠GAM = 60°，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC = AD，∠CAD = 60°，
∴∠GAM = ∠CAD，
∴∠GAC = ∠MAD，
∴△GAC≌△MAD，
∴DM = CG，∠ADM = ∠ACG，
∴∠CQM = ∠CAD = 60°.故
(1)中的结论成立. ……
……………………………………………… 6分
(3)如图，连GM，BD，
　　　　　　　　
由
(2)知CG = DM，△AGM是等边三角形，
∴GA = GM，
∴GA + GB + GC = BG + GM + MD，
∴当点G、M在线段BD上时，BG + GM + MD = BD，此时GA + GB + GC的值最小，…………………… 7分
∵∠ABC = 90°，AB = 4√3，BC = 4，
∴AC = 8，∠BAC = 30°，
∴∠BAD = 90°，
∴BD = √(8² + (4√3)²) = 4√7，
∴GA + GB + GC的最小值为4√7.
如图，由△AMD≌△AGC可知，∠AMD = ∠AGC = 120°，
∴∠AGC + ∠GAM = 180°，
∴CG//AM.
　　　　　　　　
……………………………………………… 10分