《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

1.（2024北京东城汇文中学模拟）在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC.
（1）如图1，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，连接CD、BD，∠BAC的平分线交BD于点E，连接CE.
①求证：∠AED = ∠CED；
②求证：2CE + AE = BD.
（2）在图2中，若将线段AC绕A顺时针旋转60°得到AD，连接CD、BD，∠BAC的平分线交BD的延长线于点E，连接CE.请补全图形，若CE = 6 + 2√3，求BD的长.（M9223003）
　　　　　　 　　　　
　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解析 （1）证明：①
∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，
∴AC = AD，∠CAD = 60°，
∴∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 150°，且AB = AC = AD，
∴∠ABD = ∠ADB = 15°，
∵∠BAC = 90°，AB = AC，AE平分∠BAC，
∴∠BAE = ∠CAE = 45°，∠ABC = ∠ACB = 45°，
∵AE = AE，
∴△ABE≌△ACE(SAS)，
∴∠ABE = ∠ACE = 15°，BE = CE，
∴∠EBC = ∠ECB = 30°，
∴∠CED = ∠EBC + ∠ECB = 60°，
∵∠AED = ∠ABE + ∠BAE = 60°，
∴∠AED = ∠CED.
②过点A作AH⊥BD于点H，如图：

由①知BE = CE，
∵∠AED = 60°，AH⊥BD，
∴AE = 2EH，
∵AB = AD，AH⊥BD，
∴BD = 2BH，
∵BE + EH = BH，
∴BE + EH = $\frac{1}{2}$BD，
∴2BE + 2EH = BD，
∴2CE + AE = BD.
（2）补全图形如下：

以A为顶点，AE为一边作∠EAF = 60°，AF交DB的延长线于点F，设AE交BC于K，如图，
∵∠BAC = 90°，AB = AC，AE平分∠BAC，
∴∠BAE = ∠CAE = ∠ABC = ∠ACB = 45°，
∴BK = AK = CK.
∵将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到AD，
∴AC = AD，∠DAC = 60°，
∴∠DAE = ∠DAC - ∠CAE = 15°，AB = AD，∠BAD = 30°，
∴∠ABD = ∠ADB = 75°，
∴∠AED = ∠ADB - ∠DAE = 60°，
∵AB = AC，∠BAE = ∠CAE，AE = AE，
∴△ABE≌△ACE(SAS)，
∴BE = CE = 6 + 2$\sqrt{3}$，
∴AE垂直平分BC，
∴∠BKE = 90°，
∴∠KBE = 30°，
∴KE = $\frac{1}{2}$BE = 3 + $\sqrt{3}$，BK = $\frac{\sqrt{3}}{2}$BE = 3$\sqrt{3}$ + 3 = AK，
∴AE = KE + AK = 6 + 4$\sqrt{3}$.
∵∠EAF = 60°，∠AED = 60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF = AF = AE = 6 + 4$\sqrt{3}$，
∵AC = AD，∠CAE = ∠DAF = 45°，AE = AF，
∴△CAE≌△DAF(SAS)，
∴DF = CE = 6 + 2$\sqrt{3}$，
∴BE = CE = DF = 6 + 2$\sqrt{3}$，
∵DF + BE - EF = BD，
∴BD = 6 + 2$\sqrt{3}$ + 6 + 2$\sqrt{3}$ - (6 + 4$\sqrt{3}$) = 6，
∴BD的长为6.

2.如图，点M、N分别在等边△ABC的两边AB、AC所在的直线上，点D为△ABC外一点，且∠MDN = 60°，∠BDC = 120°，BD = CD.
（1）如图1，点M、N分别在边AB、AC上，BM = CN = 2，则MN = ________；
（2）如图2，点M、N分别在边AB、AC上，BM≠CN，试猜想BM、CN、MN之间的数量关系，并加以证明.
　　　　　 　　

答案：
解析 （1）4.详解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC = ∠ACB = 60°.
∵∠BDC = 120°，BD = CD，
∴∠DBC = ∠DCB = 30°.
∴∠DBM = ∠DCN = 90°.
在△BDM和△CDN中，$\begin{cases}BD = CD \\ \angle DBM = \angle DCN \\ BM = CN\end{cases}$，
∴△BDM≌△CDN(SAS).
∴∠BDM = ∠CDN，DM = DN.
∵∠MDN = 60°，
∴△DMN是等边三角形，
∠BDM = $\frac{1}{2}$×(120° - 60°) = 30°.
在Rt△BDM中，DM = 2BM = 4，
∵△DMN为等边三角形，
∴MN = DM = 4.
（2）BM + CN = MN.
证明：如图，将△DCN绕点D逆时针旋转120°至△DBP的位置，

则DP = DN，BP = CN，∠DBP = ∠DCN，∠BDP = ∠CDN.由
(1)知∠DBM = ∠DCN = 90°，
∴∠DBP = 90°，
∴∠DBM + ∠DBP = 180°，
∴M、B、P三点共线，
∵∠BDC = 120°，∠MDN = 60°，
∴∠BDM + ∠CDN = 60°，
∴∠BDM + ∠BDP = 60°，即∠PDM = 60°，
∴∠PDM = ∠NDM.
在△PDM和△NDM中，$\begin{cases}DP = DN \\ \angle PDM = \angle NDM \\ DM = DM\end{cases}$，
∴△PDM≌△NDM(SAS)，
∴MP = MN.
∵MP = BM + BP = BM + CN，
∴BM + CN = MN.