《2025年5年中考3年模拟九年级数学下册北京课改版北京专版》

8.（2023北京顺义期中）如图，将等边△ABC折叠，使点C落在AB边上的点D处，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC边上. 若AC = 8，AD = 2，则△AED的周长为________，$\frac{CE}{CF}$的值为________.（M9223004）

答案： 答案 10；$\frac{5}{7}$
解析
∵ △ABC是等边三角形，
∴ BC = AB = AC = 8，∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°，
∵ AD = 2，
∴ BD = 6，由折叠的性质得，CE = DE，CF = DF，∠EDF = ∠C = 60°，
∴ AE + DE + AD = AC + AD = 10，即△AED的周长为10，
∴ DF + BF + BD = BC + BD = 14，即△DFB的周长为14.
∵ ∠EDF = ∠BAC = ∠ABC = 60°，
∴ ∠FDB + ∠EDA = ∠AED + ∠EDA = 120°，
∴ ∠FDB = ∠AED.
∵ ∠B = ∠A = 60°，
∴ △AED∽△BDF，
∴ (AE + DE + AD) : (DF + BF + BD) = DE : DF = CE : CF，
∴ $\frac{CE}{CF}=\frac{10}{14}=\frac{5}{7}$.

9.（2023北京朝阳期中）如图，对正方形纸片ABCD进行如下折叠：
①先对折，使AB与CD重合，得到折痕EF；
②折叠纸片，使点A落在EF上的点H处，点D也落在EF上的点H处，沿BH和CH剪下△BCH.
判定△BCH为等边三角形的依据是（M9223004） （ ）
A. 三个角都相等的三角形是等边三角形
B. 有两个角是60°的三角形是等边三角形
C. 三边都相等的三角形是等边三角形
D. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
 

答案： C
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = BC = CD = DA，由翻折变换可得，AB = HB，
∴ BH = BC，
∵ EF是BC的垂直平分线，
∴ BH = CH，
∴ BH = CH = BC，
∴ △BHC是等边三角形，故选C.

10.（2022北京首师大附中期中）如图，将Rt△ABC折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，折痕为BD，连接CE，现有以下结论：
①DE⊥AB；
②BC = BE；
③BD平分∠ABC；
④△BCE是等边三角形；
⑤BD垂直平分EC.
其中正确的结论是（M9223004） （ ）
A. ①②③ B. ②③ C. ①②③④ D. ①②③⑤

答案： D
∵ 将Rt△ABC折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，
∴ △BCD≌△BED，
∴ ∠BED = ∠BCD = 90°，BC = BE，∠CBD = ∠EBD，DE = DC，
∴ DE⊥AB，BD平分∠ABC，故①②③正确；
∵ DE = DC，BE = BC，
∴ BD垂直平分EC，故⑤正确；
∵ ∠ABC不一定等于60°，
∴ △BCE不一定是等边三角形，故④错误. 故选D.

11. 甲乙丙三人用同一张矩形纸张接力进行如图所示的操作：甲任意画一个△ABC，折叠纸张，使得点A与点C重合，折痕与AC边交于点O；乙再折出射线BO，点E在BO的延长线上；丙再折叠纸张，使得OB落在OE上，点B的对应点为点D，连接AD，DC. 下列说法错误的是（ ）
A. 四边形ABCD为平行四边形
B. 在△ABC中，若∠BAC + ∠ACB = 90°，则四边形ABCD为矩形
C. 若AC = 2OB，则四边形ABCD为正方形
D. 若射线BO平分∠ABC，则四边形ABCD为菱形

答案： C 由OA = OC，OB = OD，可得四边形ABCD为平行四边形，A说法正确；在△ABC中，若∠BAC + ∠ACB = 90°，则∠ABC = 90°，则平行四边形ABCD为矩形，B说法正确；若AC = 2OB，则AC = BD，则平行四边形ABCD为矩形，不能得到四边形ABCD为正方形，C说法错误；若射线BO平分∠ABC，则平行四边形ABCD中，∠ABO = ∠CBO = ∠ADO，则AB = AD，则四边形ABCD为菱形，D说法正确.
故选C.