《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

15. 计算：
（1）$2\div\sqrt{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}$；
（2）$-\frac{4}{3}\sqrt{18}\div2\sqrt{8}\times\frac{1}{3}\sqrt{54}$.
（3）$\sqrt{\frac{18a^{3}}{b}}\div\sqrt{\frac{2a}{b}}$.

答案：
(1)解：原式$=2\times\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{\sqrt{2}} = 1$。
(2)解：原式$=-\frac{4}{3}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times\sqrt{18\times\frac{1}{8}\times54}=-\frac{2}{9}\sqrt{9\times\frac{1}{4}\times54}=-\frac{2}{9}\times\frac{9}{2}\sqrt{6}=-\sqrt{6}$。
(3)解：原式$=\sqrt{\frac{18a^{3}}{b}\times\frac{b}{2a}}=\sqrt{9a^{2}} = 3a$。

16.（教材第9页例7变式）如图，在Rt$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$S_{\triangle ABC}=\sqrt{18}$，$BC = \sqrt{3}$，$AB = 3\sqrt{3}$，$CD\perp AB$于点$D$，求$AC$和$CD$的长.

答案： 解：$\because S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD,\therefore AC=\frac{2S_{\triangle ABC}}{BC}=\frac{2\times\sqrt{18}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{\frac{18}{3}}=2\sqrt{6},CD=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AB}=\frac{2\times\sqrt{18}}{3\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{18}{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$。

17.（核心素养·运算能力）阅读下面的计算过程：

试求：
（1）$\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{6}}$的值；
（2）$\frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$的值；
（3）$\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$的值.

答案： 解：
(1)原式$=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{6}}{(\sqrt{7}+\sqrt{6})(\sqrt{7}-\sqrt{6})}=\sqrt{7}-\sqrt{6}$。
(2)原式$=\frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})}=\sqrt{5}-\sqrt{3}$。
(3)原式$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-1 = 9$。