《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

10.(广西自治区中考)如图,在▱ABCD中,∠B = 60°,AB = 6cm,BC = 12cm,点P从点A出发.以1cm/s的速度沿A→D运动,同时点Q从点C出发,以3cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动,当点P到达端点D时,点Q随之停止运动,在此运动过程中,线段PQ = CD出现的次数是（ ）

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： B

11.(河南省中考)矩形ABCD中,M为对角线BD的中点,点N在边AD上,且AN = AB = 1.当以点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时,AD的长为______.

答案： 2或1 + √2

12.如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知OA = OC,OB = OD,过点O作EF⊥BD,分别交AB,DC于点E,F,连接DE,BF.
(1)求证:四边形DEBF是菱形;
(2)设AD//EF,AD + AB = 12,BD = 4$\sqrt{3}$,求AF的长.

答案：
(1)证明:
∵OA = OC , OB = OD ,
∴四边形ABCD是平行四边形 , AB//CD .
∴∠ABD=∠CDB . 在△BOE和△DOF中,{∠EBO=∠FDO,OB = OD,∠BOE=∠DOF},
∴△BOE≌△DOF(ASA).
∴OE = OF,
∴四边形DEBF是平行四边形.
∵EF⊥BD,
∴四边形DEBF是菱形.
(2)解:过点F作FG⊥AB于点G.
∵AD//EF,EF⊥BD,
∴在Rt△ABD中,AD²+BD²=AB².
∵AD + AB = 12,设AD = x，则AB = 12 - x，所以x²+BD²=(12 - x)².解得AD = 4,
∴AB = 8.因为四边形DEBF是菱形,
∴∠EBF = 2∠ABD = 60°,BE = BF,所以△BEF是等边三角形.易知∠GFB = 30°,设BG = y，则BF = 2y，FG = √3y.在Rt△BGF中,由勾股定理,得y²+(√3y)²=(2y)²，解得BG = 2.
∴AG = AB - BG = 8 - 2 = 6.在Rt△AGF中,根据勾股定理,得AF=√(AG²+FG²)=√(6²+(2√3)²) = 4√3