《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

10.（荆州市中考改编）已知$k=\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$，则与$k$最接近的整数为（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5

答案： B

11.（广东省中考）设$6 - \sqrt{10}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，则$(2a+\sqrt{10})b$的值是（ ）
A.6
B.$2\sqrt{10}$
C.12
D.$9\sqrt{10}$

答案： A

12.（原创题）计算$(\sqrt{2}+1)^{2023}(\sqrt{2}-1)^{2025}$的结果是__________.

答案： $3 - 2\sqrt{2}$

13.计算：
（1）$(3\sqrt{12}-2\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{48})\div2\sqrt{3}$；
（2）$(2\sqrt{\frac{3}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}})(\frac{1}{2}\sqrt{8}+\sqrt{\frac{2}{3}})$；

答案：
(1)解：原式$=(6\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3})\div2\sqrt{3}=\frac{28}{3}\sqrt{3}\times\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{14}{3}$.
(2)解：原式$=(\sqrt{6}-\frac{\sqrt{2}}{2})(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{6}}{3})=\sqrt{6}\times\sqrt{2}+\sqrt{6}\times\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{6}}{3}=2\sqrt{3}+2 - 1-\frac{\sqrt{3}}{3}=1+\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

14.在一个边长为$(\sqrt{5}+\sqrt{3})\text{ cm}$的正方形内部挖去一个边长为$(\sqrt{5}-\sqrt{3})\text{ cm}$的正方形（如图所示），求剩余部分的面积.

答案： 解：根据题意，得剩余部分的面积为$(\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}=5 + 2\sqrt{15}+3-(5 - 2\sqrt{15}+3)=4\sqrt{15}(cm^{2})$.

15.（核心素养·创新意识）规定用符号$[x]$表示一个实数的整数部分，例如$[\frac{2}{3}]=0$，$[3.14]=3$，$[\sqrt{3}]=1$，并且规定一个实数减去它的整数部分是这个实数的小数部分.
按此规定解答问题：
（1）$[\sqrt{8}(\sqrt{5}-\sqrt{2})]=$____，$\sqrt{8}(\sqrt{5}-\sqrt{2})$的小数部分为__________；
（2）已知$a$，$b$分别是$5 - \sqrt{5}$的整数部分和小数部分，求$4ab - b^{2}$的值.

答案：
(1) $2$ $ \sqrt{10}-6$ 解：
(2)$\because2＜\sqrt{5}＜3$，$\therefore2＜5-\sqrt{5}＜3$，$\therefore a = 2$，$b = 5-\sqrt{5}-2=3-\sqrt{5}$，$\therefore4ab - b^{2}=4\times2\times(3-\sqrt{5})-(3-\sqrt{5})^{2}=10 - 2\sqrt{5}$.