《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

1. $x$为何值时，下列式子在实数范围内有意义.
（1）$\sqrt{x - 2}+\sqrt{3 - x}$；
（2）$\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}$.

答案：
(1)解:由题意,得$\begin{cases}x - 2\geqslant0\\3 - x\geqslant0\end{cases}$,解得$2\leqslant x\leqslant3$.$\therefore$当$2\leqslant x\leqslant3$时,$\sqrt{x - 2}+\sqrt{3 - x}$有意义.
(2)解:由题意,得$\begin{cases}x + 2\geqslant0\\x - 3\neq0\end{cases}$,解得$x\geqslant - 2$且$x\neq3$.$\therefore$当$x\geqslant - 2$且$x\neq3$时,$\frac{\sqrt{x + 2}}{x - 3}$有意义.

2. 若实数$x$，$y$满足$y = \sqrt{x - 2}+\sqrt{2 - x}+3$，求$\frac{\sqrt{x + 6}}{y - 1}$的值.

答案： 解:由题意,得$\begin{cases}x - 2\geqslant0\\2 - x\geqslant0\end{cases}$,解得$x = 2$.$\therefore y = 3$.当$x = 2,y = 3$时,原式$=\frac{\sqrt{x + 6}}{y - 1}=\frac{\sqrt{2 + 6}}{3 - 1}=\frac{\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}$.

3. 已知实数$a$满足$\sqrt{(100 - a)^2}+\sqrt{a - 101}=a$，求$a$的值.

答案： 解:由题意,得$a - 101\geqslant0$,即$a\geqslant101$.$\therefore$原式化简,得$\vert100 - a\vert+\sqrt{a - 101}=a - 100+\sqrt{a - 101}=a$,即$\sqrt{a - 101}=100$,$\therefore a - 101 = 10000$,解得$a = 10101$.$\therefore a$的值是$10101$.

4. 已知式子$\sqrt{9 - 4a}+\sqrt{-a^2}+\sqrt{a + 1}$.
（1）求$a$的值；
（2）求$\sqrt{9 - 4a}+\sqrt{-a^2}+\sqrt{a + 1}$的值.

答案： 解:
(1)由题意,得$\begin{cases}9 - 4a\geqslant0\\-a^{2}\geqslant0\\a + 1\geqslant0\end{cases}$,解得$a = 0$.
(2)当$a = 0$时,原式$=\sqrt{9 + 0}+\sqrt{1}=3 + 1 = 4$.

5. 已知实数$a$满足$|2025 - a|+\sqrt{a - 2026}=a$，求$a - 2025^2$的值.

答案： 解:由题意,得$a - 2026\geqslant0$,$\therefore a\geqslant2026$,$\therefore2025 - a＜0$.$\therefore$原式可以变形为$a - 2025+\sqrt{a - 2026}=a$.$\therefore\sqrt{a - 2026}=2025$,$\therefore a - 2026 = 2025^{2}$,$\therefore a - 2025^{2}=2026$.

6. （达州市中考改编）已知$a$，$b$满足等式$a^2+6a + 9+\sqrt{b - \frac{1}{3}}=0$，则$a^{2025}b^{2024}=$______.

答案： $-3$

7. 已知$\sqrt{x - y + 3}$与$\sqrt{x + y - 1}$互为相反数，则$2x + 3y$的值为_____.

答案： $4$

8. 已知$y = \sqrt{3x + 4}+5$，则当$x$取何值时$y$有最小值？并求出这个最小值.

答案： 解:$\because\sqrt{3x + 4}\geqslant0$,$\therefore y=\sqrt{3x + 4}+5\geqslant5$,$\therefore$当$\sqrt{3x + 4}=0$时$y$有最小值$5$,$\therefore$此时$3x + 4 = 0$,解得$x =-\frac{4}{3}$,$\therefore$当$x =-\frac{4}{3}$时$y$有最小值$5$.