《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

8. 如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD的边至少满足条件（ ）


A. AB=AD
B. AB=BC
C. AB=CD
D. BC=CD

答案： C

9. 如图，Rt△ABC≌△DEF，若AB=8，BC=6，则当AF=______时，四边形BCEF是菱形.

答案： 2.8

10.（河南省中考）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE//DC交AC的延长线于点E.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形.

答案：

(1)解:如图:∠ECM即为所求.
(2)证明:由
(1),得∠ECF = ∠A,
∴CF//AB.
∵BE//DC,
∴四边形CDBF是平行四边形.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴CD = BD.
∴▱CDBF是菱形.

11.（核心素养·推理能力）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交CE的延长线于点F.
（1）求证：四边形ADBF是菱形；
（2）若AB=8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长.

答案：
(1)证明:
∵E是AD的中点,
∴AE = DE.
∵AF//BC,
∴∠AFE = ∠DCE.在△AEF和△DEC中,$\begin{cases} \angle AFE=\angle DCE, \\ \angle AEF=\angle DEC, \\ AE = DE, \end{cases}$
∴△AEF≌△DEC(AAS),
∴AF = CD.
∵D是BC的中点,
∴CD = BD,
∴AF = BD.
∵AF//BC,
∴四边形ADBF是平行四边形.
∵∠BAC = 90°,D是BC的中点,
∴AD = BD = $\frac{1}{2}$BC.
∴四边形ADBF是菱形.
(2)解:连接DF交AB于O,由
(1)知,四边形ADBF是菱形,$S_{菱形ADBF}=\frac{1}{2}AB\cdot DF = 40$,
∴$\frac{1}{2}DF×8 = 40$,
∴DF = 10,
∴OD = 5.
∵四边形ADBF是菱形,
∴O是AB的中点.
∵D是BC的中点,
∴OD是△BAC的中位线.
∴AC = 2OD = 2×5 = 10.