《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

8.（教材第68页第9题变式）如图，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH.在下列条件中，可使四边形EFGH为矩形的是（ ）

A. AB = CD
B. AC = BD
C. AC⊥BD
D. AD//BC

答案： C

9.如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，P是BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件____________________时，四边形PEMF为矩形.

答案： BC = 2AB

10.（泰州市中考）如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.
（1）求证：AF与DE互相平分；
（2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由.

答案：
(1)证明：
∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线，
∴AD = BD = $\frac{1}{2}$AB，AE = CE，BF = CF，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF//AB，EF = $\frac{1}{2}$AB，
∴EF = AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴AF与DE互相平分.
(2)解：当AF = $\frac{1}{2}$BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下：
∵线段DE为△ABC的中位线，
∴DE = $\frac{1}{2}$BC. 又
∵AF = $\frac{1}{2}$BC，
∴AF = DE.
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADFE为矩形.

11.（核心素养·推理能力）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，连接BE并延长与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF = 90°.
（1）求证：四边形ABDF是矩形；
（2）若AD = 5，DF = 3，求四边形ABCF的面积S.

答案：
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴AB//DF.
∴∠DFE = ∠ABE.
∵E为线段AD的中点，
∴DE = AE. 在△DFE和△ABE中，$\begin{cases}∠DFE = ∠ABE,\\∠DEF = ∠AEB,\\DE = AE,\end{cases}$
∴△DFE≌△ABE(AAS).
∴DF = AB. 又
∵AB//DF，
∴四边形ABDF是平行四边形.
∵∠BDF = 90°，
∴平行四边形ABDF是矩形.
(2)解：
∵四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD = 90°，AF = BD，AB = DF.
∵AD = 5，DF = 3.
∴在Rt△AFD中，AF = $\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$.
∴BD = AF = 4，AB = DF = 3.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD = AB = 3.
∴S_{四边形ABCF}=S_{矩形ABDF}+S_{△BCD}=DF·BD+$\frac{1}{2}$CD·BD = 3×4+$\frac{1}{2}$×3×4 = 18.