《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

11. (济宁市中考)已知$a = 2+\sqrt{5}$，$b = 2-\sqrt{5}$，求代数式$a^2b + ab^2$的值.

答案： 解：$\because a = 2+\sqrt{5},b = 2-\sqrt{5},\therefore a^{2}b+ab^{2}=ab(a + b)=(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5}+2-\sqrt{5})=(4 - 5)\times4=-1\times4=-4$.

12. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. $\sqrt{2}$ B. 2 C. $2\sqrt{2}$ D. 6
　　　

答案： B

13. 某校一块空地被荒废，如图，为了绿化环境，学校打算利用这块空地种植花草，已知$AB\perp BC$，$CD\perp BC$，$AB=\frac{1}{4}CD=\sqrt{6}m$，$BC = 3\sqrt{2}m$，试求这块空地的面积.
　　　

答案： 解：易知四边形 $ABCD$ 为直角梯形. $\because AB=\frac{1}{4}CD=\sqrt{6}m,\therefore CD = 4\sqrt{6}m.\therefore$空地的面积为 $\frac{1}{2}(AB + CD)\cdot BC=\frac{1}{2}\times(\sqrt{6}+4\sqrt{6})\times3\sqrt{2}=\frac{15\sqrt{12}}{2}=15\sqrt{3}(m^{2})$.

14. 已知$a ＜ b$，且$ab\neq0$，化简二次根式$\sqrt{-a^3b}$的正确结果是（ ）
A. $-a\sqrt{-ab}$
B. $-a\sqrt{ab}$
C. $a\sqrt{ab}$
D. $a\sqrt{-ab}$

答案： A

15. (绥化市中考)若式子$\frac{\sqrt{x + 5}}{x}$有意义，则$x$的取值范围是________________.

答案： $x\geq - 5$且 $x\neq0$

16. (荆州市中考改编)若$3-\sqrt{2}$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，求代数式$(2+\sqrt{2}a)\cdot b$的值.

答案： 解：$\because1＜\sqrt{2}＜2,\therefore1＜3-\sqrt{2}＜2,\because$若 $3-\sqrt{2}$ 的整数部分为 $a$，小数部分为 $b,\therefore a = 1,b = 3-\sqrt{2}-1=2-\sqrt{2},\therefore(2+\sqrt{2})\cdot b=(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})=2$.

17. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方.
　　　
例如：$4 + 2\sqrt{3}=1 + 3 + 2\sqrt{3}=1^2 + 2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2=(1+\sqrt{3})^2$.
这样小明就找到了一种把类似$4 + 2\sqrt{3}$的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1) $14 - 6\sqrt{5}=14 - 2\times3\times\sqrt{5}=(\underline{\quad\quad})^2+(\underline{\quad\quad})^2 - 2\times3\times\sqrt{5}=(\underline{\quad\quad})^2$；
(2) 化简：$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}+\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}+\sqrt{7 - 2\sqrt{12}}+\cdots+\sqrt{2n + 1 - 2\sqrt{n(n + 1)}}$.($n$为正整数)

答案： （1）3 $\sqrt{5}$ $3-\sqrt{5}$ 解：（2）原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}=\sqrt{n + 1}-1$.