《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

11. 如图，在□ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF = $\frac{1}{2}$BC. 求证：四边形OCFE是平行四边形.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO = DO.
∵E为CD的中点，
∴OE//BC，OE = $\frac{1}{2}BC$.
∵CF = $\frac{1}{2}BC$，
∴OE$\underline{\underline{//}}$CF.
∴四边形OCFE是平行四边形.

12.（核心素养·创新意识）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB = CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，求证：∠BME = ∠CNE；
（2）如图②，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上的一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB = DC = 2，∠FEC = 45°，则EF的长为______.

答案：
(1)解：证明：连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH，
∵E，H，F分别是AD，BD，BC的中点，
∴EH//AB，EH = $\frac{1}{2}AB$，FH//CD，FH = $\frac{1}{2}CD$，
∴∠BME = ∠HEF，∠CNE = ∠HFE. 又
∵AB = CD，
∴EH = FH，
∴∠HEF = ∠HFE，
∴∠BME = ∠CNE.
(2)$\sqrt{2}$

13. 如图，在四边形ABCD中，∠D = 90°，AD = 8，CD = 6，点E，F分别是AB，CB的中点，则EF的长是______.

答案： 5

14. 如图，在四边形ABCD中，AB = 8，CD = 6，∠ABD = 30°，∠BDC = 120°，E，F分别是AD，BC的中点，则EF的长为______.

答案： 5

15. 如图，在△ABC中，AB = 8，AD为∠BAC的外角平分线，且AD⊥CD于点D，E为BC的中点. 若DE = 10，则AC的长为______.

答案： 12

16. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AC⊥AD，E是BD中点，若AD = 6，AC = 8，BC = 12，求AE = ______.

答案： 5