《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

9. 如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，E为BC边的中点，∠ACD=30°，AB=4，AC=2，则DE的长为（ ）

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. 2
D. 4

答案： B

10. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD边上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为_______.

答案： $\frac{12}{5}$

11. 如图，∠MEN=90°，矩形ABCD的顶点B，C分别是∠MEN两边上的动点，F是BC上一点. 已知BC=6，CD=3，请完成下列问题：
（1）若点F是BC的中点，则EF=_____；
（2）D，E两点之间距离的最大值是_____.

答案：
(1)3　
(2)3+3$\sqrt{2}$

12. 如图，在锐角△ABC中，BE，CF分别是边AC，AB上的高，点M，N分别是BC，EF的中点. 求证：MN⊥EF.

答案： 证明:连接ME,MF.
∵BE,CF分别是边AC，AB上的高，
∴∠BEC=∠BFC=90°,在Rt△BEC和Rt△BFC中，点M是斜边BC的中点，
∴FM=$\frac{1}{2}$BC=EM,又
∵N 是EF的中点，
∴MN⊥EF.

13. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E.
（1）求证：BD=BE；
（2）连接OE，若AB=4，BC=6，求OE的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,AB//CD.又
∵BE//AC,
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴AC=BE.
∴BD=BE.　
(2)解:过点O作OF⊥CD于点F，
∴∠OFE=90°.
∵四边形ABCD是矩形，
∴易知OC=OD.
∴F为CD的中点.
∵O是BD的中点，
∴OF为△BCD的中位线.
∴OF//BC,OF=$\frac{1}{2}$BC=3.又
∵四边形ABEC是平行四边形，
∴CE=AB =CD=4.
∴CF=DF=$\frac{1}{2}$CD=2，EF=CF+CE=6.在Rt△OEF中,由勾股定理可得OE=$\sqrt{OF^{2}+EF^{2}}$=$\sqrt{3^{2}+6^{2}}$=3$\sqrt{5}$