《2025年课堂点睛八年级数学下册人教版安徽专版》

1.如图所示,在边长为6的正方形ABCD中,点P为对角线AC上的一动点,PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,则EF的最小值为______.

答案： 3√2

2.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E为AB的中点,F是AC上一动点,则EF + BF的最小值为______.

答案： √3

3.如图,正方形EFCD的边长是4,对角线CE与DF交于点O,以O为端点引两条互相垂直的射线,分别交正方形的边于A,B两点,求AB的最小值.

答案： 解:
∵四边形CDEF是正方形,
∴∠OCA = ∠ODB = 45°,∠COD = 90°,OC = OD.
∴∠COA + ∠AOD = 90°.
∵AO⊥OB,
∴∠AOB = 90°,即∠AOD + ∠DOB = 90°,
∴∠COA = ∠DOB,又
∵∠OCA = ∠ODB,OD = OC,
∴△COA≌△DOB,
∴OA = OB.又
∵∠AOB = 90°,
∴AB=√(OA²+OB²)=√2OA.要使AB最小,只要OA取最小值,由垂线段最短可知,当OA⊥CD时,OA最小.
∵OC = OD,OA⊥DC,
∴OA为Rt△COD斜边中线,
∴OA=1/2CD=1/2×4 = 2,
∴AB=√2OA=2√2,
∴AB的最小值是2√2.

4.(青海省中考)如图,正方形ABCD的边长为8,点M在DC上且DM=2,N是AC上的一动点,则DN + MN的最小值是______.

答案： 10

5.如图,在矩形ABCD中,AB = 4,AD = 3,矩形内部有一动点P满足S△PAB = $\frac{1}{3}$S矩形ABCD,则PA + PB的最小值为______.

答案： 4√2

6.如图,M,N是边长为4的正方形ABCD的边CD上的两个动点,且满足AM = BN,连接AC交BN于点E,连接DE交AM于点F,连接CF,则线段CF的最小值是______.

答案： 2√5 - 2

7.如图,菱形ABCD的边长为2,且∠ABC = 120°,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且使△PCE的周长最小.
(1)求∠ADE的度数;
(2)在BD上画出点P的位置,并写出作法;
(3)求△PCE周长的最小值.

答案：

(1)解:
∵四边形ABCD为菱形,∠ABC = 120°,
∴DC = BC,∠BCD = 60°,∠ADC=120°,
∴△BCD是等边三角形,
∵∠BDC = 60°,DB = DC,E为BC的中点,
∴∠CDE=1/2∠BDC = 30°,
∴∠ADE=∠ADC - ∠EDC = 120° - 30°=90°.
(2)
∵C,A关于BD对称,故连接AE交BD于点P.如图.
(3)如图,连接PC,
∵点C与点A关于BD对称,
∴PC = PA,
∴PC + PE=PA + PE=AE=√(AD²+DE²)=√7.
∴△PCE周长的最小值为√7 + 1.