《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

13. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO = CO，点E在BD上，满足∠EAO = ∠DCO。
　(1)求证：四边形AECD是平行四边形。
　(2)若AB = BC，CD = 5，AC = 8，求四边形AECD的面积。
　　　

答案：
(1)在△AOE和△COD中,
$\begin{cases}\angle EAO=\angle DCO,\\AO = CO,\\\angle AOE=\angle COD,\end{cases}$
∴△AOE≌△COD(ASA).
∴OD=OE.
又
∵AO=CO,
∴四边形AECD是平行四边形.
(2)
∵AB=BC,AO=CO,
∴OB⊥AC.
∵AC=8,
∴CO=$\frac{1}{2}$AC=4.
在Rt△COD中,由勾股定理得OD=$\sqrt{CD^{2}-CO^{2}}$=$\sqrt{5^{2}-4^{2}}$=3,
∴DE=2OD=6.
∴四边形AECD的面积=$\frac{1}{2}$AC×DE=$\frac{1}{2}$×8×6 = 24.

14. 如图，P是△ABC的边AB上一点，连结CP，BE⊥CP于点E，AD⊥CP，交CP的延长线于点D，试解答下列问题：
　(1)如图1，当P为AB的中点时，连结AE，BD。求证：四边形ADBE是平行四边形。
　(2)如图2，当P不是AB的中点时，取AB中点Q，连结QD，QE。求证：△QDE是等腰三角形。
　

答案：
(1)
∵P为AB的中点,
∴AP=BP.
∵BE⊥CP,AD⊥CP,
∴∠ADP=∠BEP=90°.
在△ADP和△BEP中,
∵$\begin{cases}\angle APD=\angle BPE,\\\angle ADP=\angle BEP,\\AP = BP,\end{cases}$
∴△ADP≌△BEP(AAS).
∴DP=EP.
∴四边形ADBE是平行四边形.
(2)延长DQ交BE于点F.
∵AD$//$BE,
∴∠ADQ=∠BFQ.在△ADQ和△BFQ中,
$\begin{cases}\angle ADQ=\angle BFQ,\\\angle AQD=\angle BQF,\\AQ = BQ,\end{cases}$
∴△ADQ≌△BFQ(AAS).
∴DQ=QF.
∵BE⊥DC,
∴QE是Rt△DEF斜边上的中线.
∴QE=QF=QD,即DQ=QE.
∴△QDE是等腰三角形.

15.【河北】如图1，在□ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角。要在对角线BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的是(　　)。
　　　　　　　　　　　甲：　　A　　　　　　D乙：　　A　　　　　　D丙：　　A　　　　　　D
　　　　　　　　　
D
　 　　B　　　　　　C　　B　　　　　　　　　　B
　　　　　　　　　　　|取BD的中点O，作;　　作AN⊥BD于点N,{　　　|作AN，CM分别平{
　　　　　　　　　　　|BN = NO,OM = MD　　|CM⊥BD于点M　{　　　|分∠BAD,∠BCD|
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2
　　　　　　　　　　　　　　　　　(第15题)
A. 甲、乙、丙　
　B. 只有甲、乙　
　C. 只有甲、丙　
　D. 只有乙、丙

答案： A