《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

9. 用配方法解方程$3x^{2}+2x - 1 = 0$，配方后的方程是( )。
A. $3(x - 1)^{2}=0$
B. $(x+\frac{2}{3})^{2}=\frac{1}{3}$
C. $(x+\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{3}$
D. $(x+\frac{1}{3})^{2}=\frac{4}{9}$

答案： D

10. 将关于$x$的一元二次方程$x^{2}-px + q = 0$变形为$x^{2}=px - q$，就可以将$x^{2}$表示为关于$x$的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如$x^{3}=x\cdot x^{2}=x(px - q)=\cdots$，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式。根据“降次法”，已知$x^{2}-x - 1 = 0$，且$x＞0$，则$x^{4}-2x^{3}+3x$的值为( )。
A. $1-\sqrt{5}$
B. $3-\sqrt{5}$
C. $1+\sqrt{5}$
D. $3+\sqrt{5}$

答案： C　[解析]
∵x²−x−1=0,
∴x²=x+1.
∴x³=x·x²=x(x+1)=x²+x=x+1+x=2x+1，x⁴=x·x³=x(2x+1)=2x²+x=2(x+1)+x=3x+2.
∴x⁴−2x³+3x=3x+2−2(2x+1)+3x=3x+2−4x−2+3x=2x;
解方程x²−x−1=0得x₁=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
∵x＞0,
∴x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴x⁴−2x³+3x=2×$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$=1+$\sqrt{5}$.故选C.

11. 方程$x(2x - 1)=2x - 1$的根为____________。

答案： x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=1

12. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+6x + k = 0$有两个相等的实数根，则实数$k$的值为________。

答案： 9

13. 已知$m$是关于$x$的方程$x^{2}-2x - 7 = 0$的一个根，则$2(m^{2}-2m)=$________。

答案： 14

14. 已知关于$x$的一元二次方程$mx^{2}-2(m + 2)x + m = 0$有两个不相等的实数根$x_{1},x_{2}$，若$x_{1}+x_{2}=2m$，则$m$的值是________。

答案： 2

15. 若关于$x$的一元二次方程$(a + 1)x^{2}+4x + a^{2}-1 = 0$的一个根是0，则$a=$________。

答案： 1

16. 如果关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”。下列关于“倍根方程”的说法：①方程$x^{2}-x - 2 = 0$是“倍根方程”；②若$(x - 2)(mx + n)=0$是“倍根方程”，则$4m^{2}+5mn + n^{2}=0$；③若$p$，$q$满足$pq = 2$，则关于$x$的方程$px^{2}+3x + q = 0$是“倍根方程”；④若方程$ax^{2}+bx + c = 0$是“倍根方程”，则必有$2b^{2}=9ac$。其中正确的有________（填序号）。

答案： ②③④

17. (8分)解方程：
(1)$2x^{2}-4x + 1 = 0$。 (2)$(x - 2)(x - 3)=12$。

答案：
(1)x₁=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，x₂=$\frac{2−\sqrt{2}}{2}$
(2)x₁=6，x₂=−1.

18. (8分)如图，依靠一面长18m的墙，用34m长的篱笆围成一个长方形花圃$ABCD$，$AB$边上留有一扇2m宽的小门$EF$（用其他材料做，不用篱笆围）。
(1)设花圃的一边$AD$的长为$x$(m)，用含$x$的代数式表示另一边$CD$的长为________m。
(2)当花圃的面积为160m²时，求$AD$的长。

答案：
(1)设AD=x(m)，则BC=AD=x(m)，
∴CD=34+2−2AD=34+2−2x=(36−2x)m
(2)依题意得x(36−2x)=160，化简得x²−18x+80=0，解得x₁=8，x₂=10.
当x=8时，36−2x=36−2×8=20＞18，不合题意，舍去；当x=10时，36−2x=36−2×10=16＜18，符合题意.
∴AD的长为10m.