《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

10. 用反证法证明“若整数系数一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)存在有理数根，则a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中，正确的是( )．
A. 假设a，b，c都是偶数
B. 假设a，b，c至多有一个是偶数
C. 假设a，b，c都不是偶数
D. 假设a，b，c至多有两个是偶数

答案： 10.C

11. 对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列5个论断：①a//b；②b//c；③a⊥b；④a//c；⑤a⊥c. 以其中两个论断作为条件，一个作为结论，组成一个正确的命题：________________.

答案： 11.成立的命题有①②→④；①④→②；②④→①；②③→⑤；②⑤→③；③⑤→②.

12. 用反证法证明：在△ABC中，若M，N分别是边AB，AC上的点，则BN，CM不能互相平分．
已知：在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点．
求证：BN，CM不能互相平分．
证明：

答案： 12.假设BN，CM能互相平分，则四边形BCNM为平行四边形，则BM//CN，即AB//AC，这与在△ABC中，AB，AC交于A点相矛盾，
∴BN，CM能互相平分结论不成立.
∴BN，CM不能互相平分.

13.【山西】公元前5世纪，古希腊毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数$\sqrt{2}$，导致了第一次数学危机，$\sqrt{2}$是无理数的证明如下：假设$\sqrt{2}$是有理数，那么它可以表示成$\frac{q}{p}$(p与q是互质的两个正整数)，于是$(\frac{q}{p})^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$，所以q²=2p². 于是q²是偶数，进而q是偶数，从而可设q=2m，所以(2m)²=2p²，p²=2m²，于是可得p也是偶数. 这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾，从而可知“$\sqrt{2}$是有理数”的假设不成立，所以$\sqrt{2}$是无理数. 这种证明“$\sqrt{2}$是无理数”的方法是( )．
A. 综合法
B. 反证法
C. 举反例法
D. 数学归纳法

答案： 13.B

14. 命题：多边形中最多有3个锐角. 若用反证法证明这个命题，应首先假设________________.

答案： 14.多边形有超过3个锐角

15. 设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a²－bc，y=b²－ca，z=c²－ab. 求证：x，y，z中至少有一个大于零．

答案： 15.假设x≤0，y≤0，z≤0，则x + y + z≤0.
但x + y + z=a² + b² + c² - ab - bc - ca=$\frac{1}{2}$[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²]＞0，即x + y + z＞0，与x + y + z≤0矛盾.
∴假设不成立，即x，y，z中至少有一个大于零.