《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

13. 如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点.
(1)若AB=6，CD=8，∠ABD=30°，∠BDC=120°，求EF的长.
(2)若∠BDC - ∠ABD=90°，求证：AB² + CD² = 4EF².
　　　

答案：
13.
(1)如图,取BD的中点P,连结EP,FP.
∵E,F分别是AD,BC的中点,AB=6,CD=8,
∴PE//AB,且PE=$\frac{1}{2}$AB=3,
PF//CD且PF=$\frac{1}{2}$CD=4.
又
∵∠ABD=30°,∠BDC=120°,
∴∠EPD=∠ABD=30°,∠DPF=180°−∠BDC =60°.
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=90°.
在Rt△EPF中,由勾股定理得EF=$\sqrt{EP²+PF²}$
=$\sqrt{3²+4²}$=5,即EF=5.

(2)如图,取BD的中点P,连结EP,FP.
∵E,F分别是AD,BC的中点,
∴PE//AB,且PE=$\frac{1}{2}$AB,PF//CD且PF=$\frac{1}{2}$CD.
∴∠EPD=∠ABD,∠BPF=∠BDC;
∴∠DPF=180°−∠BPF=180°−∠BDC.
∵∠BDC−∠ABD=90°,
∴∠BDC=90°+∠ABD.
∴∠EPF=∠EPD+∠DPF=∠ABD+180°−∠BDC=∠ABD+180°−(90°+∠ABD)=90°.
∴PE²+PF²=($\frac{1}{2}$AB)²+($\frac{1}{2}$CD)²=EF²,
∴AB²+CD²=4EF²,

14.【赤峰】如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F是线段DE上的一点. 连结AF，BF，∠AFB=90°，且AB=8，BC=14，则EF的长是( ).
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
　　　　　　

答案： 14.B

15.【河南】如图，∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，B为边AN上一动点，连结BC，△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，D，E分别为AC，BC的中点，连结DE并延长，交A'B所在直线于点F，连结A'E. 当△A'EF为直角三角形时，AB的长为________.
　　　

答案： 15.4$\sqrt{3}$或4

16. 如图，在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF，过点E，F分别作CA，CB的垂线，相交于点P. 求证：∠PAE=∠PBF.
　　　

答案：
16.如图,分别取AP,BP的中点M,N,并连结EM,DM,FN,DN.
根据三角形中位线定理可得:DM//BP,DM=$\frac{1}{2}$BP=BN,DN//AP,DN=$\frac{1}{2}$AP=AM,
∴∠AMD=∠APB=∠BND.
∵M,N分别为Rt△AEP,Rt△BFP斜边的中点,
∴EM=AM=DN,FN=BN=DM.
∵DE=DF,
∴△DEM≌△FDN(SSS).
∴∠EMD=∠FND.
∴∠AME=∠BNF.
∴△AME,△BNF为顶角相等的等腰三角形.
∴∠PAE=∠PBF.