《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

11. 如图，点A,B,C在同一条直线上，且$AB=\frac{2}{3}AC，$D,E分别是AB,BC的中点，分别以AB,DE,BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形(阴影部分)的面积分别记作$S_{1},S_{2},S_{3}，$若$S_{1}=\sqrt{5}，$则$S_{2}+S_{3}=________.$
　　　　　　　　

答案： 11.$\frac{3\sqrt{5}}{4}$

12. 如图，分别以△ABC的边AB,AC为边往外作正方形ABEF与正方形ACGD，连结BD,CF,DF，若AB=1,AC=2，则$BC^{2}+DF^{2}=________.$
　　　　　　

答案： 12.10

13. 如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E,F分别在边BC,CD上.
(1)若AB=4，试求菱形ABCD的面积.
(2)若∠AEF=60°，求证：AB=CE+CF.
　　

答案：
13.
(1)
∵在菱形ABCD中,∠B = 60°,
∴△ABC是等边三角形.
∵AB = 4,
∴等边三角形ABC底边上的高为4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 2$\sqrt{3}$
∴菱形ABCD的面积 = 4×2$\sqrt{3}$ = 8$\sqrt{3}$
(2)如图,将△AEC绕点A按顺时针方向旋转60°得到△AE'B,则△AEE'为等边三角形.
∴∠AE'E = 60°.
∵∠AEF = 60°,
∴∠CEF = ∠AEC−∠AEF = ∠AEC−60°.
∵∠BE'E = ∠AE'B−∠AE'E = ∠AE'B−60°,
∴∠BE'E = ∠CEF.
∵∠ABC = 60°,AB//CD,
∴∠ECF = 180°−60° = 120°.
∵∠E'BE = ∠ABC+∠ABE' = ∠ABC+∠ACB = 60°+60° = 120°,
∴∠E'BE = ∠ECF.
在△EE'B和△FEC中,
∵$\begin{cases}\angle BE'E=\angle CEF,\\BE' = CE,\\\angle E'BE=\angle ECF,\end{cases}$
∴△EE'B≌△FEC(ASA).
∴BE = CF.
∴BC = CE+BE = CE+CF.
∵AB = BC,
∴AB = CE+CF;
　　　　　　　　　　　

14. 如图，M是正方形ABCD的边BC上一点，连结AM，E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM的延长线于点F.
(1)如图1，若E为线段AM的中点，$BM:CM=1:2,BE=\sqrt{10}，$求AB的长.
(2)如图2，若DA=DE，求证：$BF+DF=\sqrt{2}AF.$

答案：
14.
(1)设BM = x,则CM = 2x,BC = 3x;
∵BA = BC,
∴BA = 3x.
∵在Rt△ABM中,E为斜边AM的中点，
∴AM = 2BE = 2$\sqrt{10}$
由勾股定理可得$AM^{2}=MB^{2}+AB^{2}$，
即40 = x²+9x²,解得x = 2.
∴AB = 3x = 6.
(2)如图,过点A作AH⊥AF
交FD的延长线于点H,过点D作DP⊥AF于点P.
∵DF平分∠CDE,
∴∠1 = ∠2.
∵DE = DA,DP⊥AF,
∴∠3 = ∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4 = 90°,
∴∠2+∠3 = 45°.
∴∠DFP = 90°−45° = 45°.
∴AH = AF;
∵∠BAF+∠DAF = 90°,∠HAD+∠DAF = 90°,
∴∠BAF = ∠DAH.
又
∵AB = AD,
∴△ABF≌△ADH(SAS).
∴BF = DH.
∵Rt△FAH是等腰直角三角形，
∴HF = $\sqrt{2}$AF.
∵HF = DH+DF = BF+DF,
∴BF+DF = $\sqrt{2}$AF.