《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

21. (8分)规定新运算符号“☆”：$a☆b = ab+\frac{3}{b}-\sqrt{3}$。如：$(-2)☆1=(-2)\times1+\frac{3}{1}-\sqrt{3}$。
(1)求$(\sqrt{12}+\sqrt{3})☆\sqrt{12}$的值。
(2)若$(-\sqrt{2x - 1})☆(-\frac{1}{3})=-\sqrt{3}$，求$x$的值。

答案： 21.
(1)原式$=(\sqrt{12} + \sqrt{3})\times\sqrt{12} + \frac{3}{\sqrt{12}} - \sqrt{3} = 12 + 6 + \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = 18 - \frac{\sqrt{3}}{2}$.
(2)$\because (-\sqrt{2x - 1})☆(-\frac{1}{3}) = -\sqrt{3}$，
$\therefore (-\sqrt{2x - 1})\times(-\frac{1}{3}) + \frac{3}{-\frac{1}{3}} - \sqrt{3} = -\sqrt{3}$.
$\therefore \frac{1}{3}\sqrt{2x - 1} = 9$.$\therefore 2x - 1 = 729$，解得$x = 365$.

22. (10分)解决问题“已知$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，求$2a^2-8a + 1$的值”时，小明是这样分析与解答的：
$\because a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$，$\therefore a - 2=-\sqrt{3}$。$\therefore (a - 2)^2=3$，即$a^2-4a + 4=3$。$\therefore a^2-4a=-1$。$\therefore 2a^2-8a + 1=2(a^2-4a)+1=2\times(-1)+1=-1$。
请你根据小明的分析过程，解决下列问题：
(1)化简：$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$。
(2)若$a=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，求$3a^2-6a - 1$的值。

答案： 22.
(1)$\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$.
(2)$\because a = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \sqrt{2} + 1$，
$\therefore a - 1 = \sqrt{2}$.$\therefore (a - 1)^{2} = 2$，即$a^{2} - 2a + 1 = 2$.
$\therefore a^{2} - 2a = 1$.$\therefore 3a^{2} - 6a - 1 = 3(a^{2} - 2a) - 1 = 3\times 1 - 1 = 2$.

23. (10分)计算：
(1)已知$a,b$满足$(a + 3b + 1)^2+\sqrt{b - 2}=0$，且$\sqrt[3]{c}=5$，求$3a^2+7b - c$的平方根。

(2)已知实数$a,b,c$在数轴上的对应点如图，化简：$\sqrt{a^2}+|c - a|+\sqrt{(b - c)^2}$。
　　　0c(第23题)
(3)已知$x,y$满足$y=\frac{\sqrt{x^2 - 9}+\sqrt{9 - x^2}+1}{x - 3}$，求$5x + 6y$的值。

答案： 23.
(1)$\because (a + 3b + 1)^{2} + \sqrt{b - 2} = 0$，$\therefore a + 3b + 1 = 0$，$b - 2 = 0$，解得$a = -7$，$b = 2$.$\because \sqrt[3]{c} = 5$，$\therefore c = 125$.
$\because 3a^{2} + 7b - c = 3\times(-7)^{2} + 7\times 2 - 125 = 147 + 14 - 125 = 36$，$\therefore 3a^{2} + 7b - c$的平方根为$\pm 6$.
(2)由数轴可知，$a ＜ 0$，$c - a ＞ 0$，$b - c ＜ 0$，
$\therefore$原式$=|a| + |c - a| + |b - c| = -a + (c - a) - (b - c) = -a + c - a - b + c = -2a - b + 2c$.
(3)根据题意可得$\begin{cases}x^{2} - 9 = 0 \\ x - 3 \neq 0 \end{cases}$，解得$x = -3$.把$x = -3$代入$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 9} + \sqrt{9 - x^{2}} + 1}{x - 3} = -\frac{1}{6}$，
把$x = -3$，$y = -\frac{1}{6}$代入$5x + 6y = -15 - 1 = -16$.