《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

15.【柳州】下列计算正确的是( ).
A. $\sqrt{3}+\sqrt{7}=\sqrt{10}$
B. $3+\sqrt{7}=3\sqrt{7}$
C. $\sqrt{3}\times\sqrt{7}=\sqrt{21}$
D. $2\sqrt{7}-2=\sqrt{7}$

答案： 15.C

16.【铜仁】计算：$(\sqrt{27}+\sqrt{18})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=$________.

答案： 16.3

17. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：$3 + 2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2$. 善于思考的小明进行了以下探索：
设$a + b\sqrt{2}=(m + n\sqrt{2})^2$(其中$a$，$b$，$m$，$n$均为整数)，则有$a + b\sqrt{2}=m^2 + 2n^2 + 2mn\sqrt{2}$.
$\therefore a = m^2 + 2n^2$，$b = 2mn$.
这样小明就找到了一种把$a + b\sqrt{2}(a,b$为整数$)$这类式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当$a$，$b$，$m$，$n$均为正整数时，若$a + b\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^2$，用含$m$，$n$的代数式分别表示$a$，$b$，则$a=$________，$b=$________.
(2)利用所探索的结论，找一组正整数$a$，$b$，$m$，$n$填空：
____$+$____$\sqrt{3}=$(____$+$____$\sqrt{3})^2$.
(3)若$a + 4\sqrt{3}=(m + n\sqrt{3})^2$，且$a$，$m$，$n$均为正整数，求$a$的值.

答案： 17.
(1)$m^{2} + 3n^{2}$ $2mn$
(2)4 2 1 1
(3)由题意得$a = m^{2} + 3n^{2}$，$4 = 2mn$。
$\because 4 = 2mn$，且$m$，$n$为正整数，
$\therefore m = 2$，$n = 1$或$m = 1$，$n = 2$。
$\therefore a = 2^{2} + 3×1^{2} = 7$或$a = 1^{2} + 3×2^{2} = 13$。