《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

11. 如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设长方形地面，请观察图形并解答下列问题。
(1)按照规律，在第6个图中，黑色瓷砖有________块，白色瓷砖有________块。
(2)某学校新教室要装修，每间教室的面积为68m²，准备定制边长为0.5m的正方形白色瓷砖和长为0.5m、宽为0.25m的长方形黑色瓷砖来铺地面。按照此图案进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设。已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，则每间教室所用的瓷砖为多少元？

答案： 11.
(1)28　42
(2)设白色瓷砖的行数为$n$。
由题意得$0.5^2\times n(n + 1)+0.5\times0.25\times4(n + 1)=68$，解得$n_1 = 15$，$n_2 = - 18$(不合题意，舍去)。
$\therefore$白色瓷砖的块数为$n(n + 1)=240$，黑色瓷砖的块数为$4(n + 1)=64$。$\therefore$每间教室所用的瓷砖为$20\times240 + 10\times64 = 5440$(元)。

12.【江西】如图，为美化校园环境，学校打算在长为30m、宽为20m的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成宽为a(m)的通道。若花圃的面积恰好等于264m²，则通道的宽为________m。

答案： 12.4

13.【山西】如图所示为一张长12cm、宽10cm的长方形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的长方形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24cm²的有盖的长方体铁盒，则剪去的正方形的边长为________cm。

答案： 13.2

14. 如图，在长方形ABCD中(长方形的对边相等，每个角都是90°)，AB = 6cm，AD = 2cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以2cm/s的速度向终点B移动，点Q以1cm/s的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动。设运动的时间为t(s)，问：
(1)当t = 1s时，四边形BCQP的面积是多少？
(2)当t为何值时，点P和点Q的距离是3cm？
(3)当t = __________s时，以点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形。(直接写出答案)

答案：
14.
(1)$\because$四边形$ABCD$是长方形，
$\therefore AB = CD = 6cm$，$AD = BC = 2cm$，$\angle A=\angle B=\angle C=\angle D = 90^{\circ}$。
$\because CQ = 1cm$，$AP = 2cm$，$\therefore PB = 6 - 2 = 4(cm)$。
$\therefore S_{四边形BCQP}=\frac{1}{2}\times(1 + 4)\times2 = 5(cm^2)$。
(2)①如图1，作$QE\perp AB$于点$E$，则$\angle PEQ = 90^{\circ}$，$QE = BC = 2cm$，$BE = CQ = t(cm)$。
$\because AP = 2t(cm)$，$\therefore PE = 6 - 2t - t = 6 - 3t(cm)$。
在$Rt\triangle PQE$中，由勾股定理得$(6 - 3t)^2 + 4 = 9$，
解得$t=\frac{6\pm\sqrt{5}}{3}$。$\because 6 - 3t\geq0$，$\therefore t=\frac{6 - \sqrt{5}}{3}$。
②如图2，作$PE\perp CD$于点$E$，则$\angle PEQ = 90^{\circ}$，$PE = BC = 2cm$，$BP = CE = 6 - 2t(cm)$。
$\because CQ = t(cm)$，$\therefore QE = t-(6 - 2t)=3t - 6(cm)$。
在$Rt\triangle PQE$中，由勾股定理得$(3t - 6)^2 + 4 = 9$，解得$t=\frac{6\pm\sqrt{5}}{3}$。$\because 3t - 6\geq0$，$\therefore t=\frac{6 + \sqrt{5}}{3}$。
综上所述，$t$的值为$\frac{6 - \sqrt{5}}{3}$或$\frac{6 + \sqrt{5}}{3}$。
(3)$\frac{3 + \sqrt{7}}{2}$，$\frac{3 - \sqrt{7}}{2}$，$\frac{6}{5}$或$\frac{-6 + 2\sqrt{33}}{3}$