《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

16. 如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，G，H分别是OB，OD的中点。求证：
　(1)OE = OF。
　(2)四边形GEHF是平行四边形。
　

答案：
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD$//$BC,OA=OC,OB=OD.
∴∠DAC=∠BCA,且OA=OC,∠AOE=∠COF.
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴OE=OF.
(2)
∵OB=OD,G,H分别是OB,OD的中点,
∴OG=OH.
又
∵OE=OF,
∴四边形GEHF是平行四边形.

17. 在△ABC中，P为BC的中点。
　　(1)如图1，求证：AP＜$\frac{1}{2}$(AB + AC)。
　　(2)延长AB到点D，使得BD = AC，延长AC到点E，使得CE = AB，连结DE。
　　　①如图2，连结BE，若∠BAC = 60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系。写出你的结论，并加以证明。
　　　②请在图3中证明：BC≥$\frac{1}{2}$DE。
　　　　　　　　　　　　　　　　
A
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A
　　 　　　　　　BK　　P　　　　　　　　　　　　BA　　P
　　　　　　　　　　　　
D　　　　　　　NE　　　　　D　　　　　　　　　　　　E
　　　　　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　　　　　图3
　(第17题)

答案：

(1)如图1,延长AP至点H,使得PH=AP,连结BH,HC.
∵BP=PC.
∴四边形ABHC是平行四边形.
∴AB=HC.
在△ACH中,AH＜HC + AC.
∴2AP＜AB + AC,即AP＜$\frac{1}{2}$(AB + AC).

(2)①BE=2AP.证明:如图2,过点B作BH$//$AE交DE于点H,连结CH,AH.
∴∠1=∠BAC=60°.
∵DB=AC,AB=CE,
∴AD=AE.
∴△AED是等边三角形.
∴∠D=∠1=∠2=∠AED=60°.
∴△BDH是等边三角形.
∴BD=DH=BH=AC.
∴四边形ABHC是平行四边形.
∵P是BC的中点,
∴P是四边形ABHC对角线AH,BC的交点.
∴点A,P,H共线,
∴AH=2AP.
易证△ADH≌△EDB,
∴AH=BE=2AP.
②证明:分两种情况:
(ⅰ)当AB=AC时,如图3,AB=AC=DB=CE.
∴BC=$\frac{1}{2}$DE.

(ⅱ)当AB≠AC时,如图4,以BD,BC为一组邻边作▱BDGC.
∴DB=GC=AC,∠BAC=∠1,BC=DG.
∵AB=CE,
∴△ABC≌△CEG.
∴BC=EG=DG.在△DGE中,DG + GE＞DE.
∴2BC＞DE,即BC＞$\frac{1}{2}$DE.
综上所述,BC≥$\frac{1}{2}$DE.