《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

16.【烟台】已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-mnx + m + n = 0$，其中$m,n$

在数轴上的对应点如图，则这个方程的根的情况是( ).
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法确定

答案： A

17.【南充】已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$.
(1)求证：无论$k$取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1},x_{2}$，且$k$与$\frac{x_{1}}{x_{2}}$都为整数，求$k$所有可能的值.

答案：
(1)$\because\Delta = [-(2k + 1)]^{2}-4\times(k^{2}+k)=1＞0$，
$\therefore$无论$k$取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2)$\because x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$，即$(x - k)[x - (k + 1)] = 0$，解得$x = k$或$x = k + 1$，$\therefore$一元二次方程$x^{2}-(2k + 1)x + k^{2}+k = 0$的两根为$k,k + 1$。
$\therefore\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{k + 1}{k}=1+\frac{1}{k}$或$\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{k}{k + 1}=1-\frac{1}{k + 1}$。
若$1+\frac{1}{k}$为整数，则$k$为1的约数，$\therefore k = \pm 1$；
若$1-\frac{1}{k + 1}$为整数，则$k + 1$为1的约数，
$\therefore k + 1 = \pm 1$，则$k$为0或-2。
$\therefore$整数$k$的所有可能的值为-1,1,0或-2。

18. 已知关于$x$的方程$x^{2}-(2k + 1)x + 4(k-\frac{1}{2})=0$.
(1)求证：无论$k$取何值，这个方程总有实数根.
(2)若等腰三角形$ABC$的一边长$a = 4$，另两边长$b,c$恰好是这个方程的两个根，求$\triangle ABC$的周长.

答案：
(1)$\Delta = (2k + 1)^{2}-4\times4(k - \frac{1}{2})=4k^{2}+4k + 1-16k + 8=(2k - 3)^{2}$，
$\because(2k - 3)^{2}\geq0$，即$\Delta\geq0$，
$\therefore$无论$k$取何值，这个方程总有实数根。
(2)当$b = c$时，$\Delta = (2k - 3)^{2}=0$，解得$k = \frac{3}{2}$。
方程化为$x^{2}-4x + 4 = 0$，解得$b = c = 2$，而$2 + 2 = 4$，故舍去。
当$a = b = 4$或$a = c = 4$时，把$x = 4$代入方程，得$16-4(2k + 1)+4(k - \frac{1}{2})=0$，解得$k = \frac{5}{2}$。
方程化为$x^{2}-6x + 8 = 0$，解得$x_{1}=4,x_{2}=2$。
$\therefore a = b = 4,c = 2$或$a = c = 4,b = 2$。
$\therefore\triangle ABC$的周长为$4 + 4 + 2 = 10$。