《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

9. 计算$(\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1)\cdot\frac{\sqrt{5}+1}{2}$的结果是( ).
A. 0
B. 1
C. 2
D. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

答案： 9.B

10. 已知$m$，$n$是两个连续自然数$(m ＜ n)$，且$q = mn$，设$p = \sqrt{q + n}+\sqrt{q - m}$，则$p$( ).
A. 总是奇数
B. 总是偶数
C. 有时是奇数，有时是偶数
D. 有时是有理数，有时是无理数

答案： 10.A

11. 已知$x = \sqrt{3}+2$，$y = \sqrt{3}-2$，则$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$的值为________.

答案： 11.-14

12. 如果$(2+\sqrt{2})^2 = a + b\sqrt{2}(a,b$为有理数$)$，那么$a + b$等于________.

答案： 12.10

13. 已知$\sqrt{16 - x^2}-\sqrt{4 - x^2}=2\sqrt{2}$，则$\sqrt{16 - x^2}+\sqrt{4 - x^2}=$________.

答案： 13.$3\sqrt{2}$ 【解析】设$\sqrt{16 - x^{2}} = a$，$\sqrt{4 - x^{2}} = b$，则$a - b = \sqrt{16 - x^{2}} - \sqrt{4 - x^{2}} = 2\sqrt{2}$，$a^{2} - b^{2} = (16 - x^{2}) - (4 - x^{2}) = 12$。
$\because a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$，$\therefore a + b = \frac{12}{2\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$，即$\sqrt{16 - x^{2}} + \sqrt{4 - x^{2}} = 3\sqrt{2}$。

14. 在解决问题“已知$a = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$，求$2a^2 - 8a + 1$的值”时，小明是这样分析与解答的：
$\because a = \frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2 - \sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}=2 - \sqrt{3}$，$\therefore a - 2 = -\sqrt{3}$.
$\therefore (a - 2)^2 = 3$，$a^2 - 4a + 4 = 3$.$\therefore a^2 - 4a = -1$.
$\therefore 2a^2 - 8a + 1 = 2(a^2 - 4a)+1 = 2\times(-1)+1 = -1$.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
(1)化简：$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.
(2)若$a = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$，求$3a^2 - 6a - 1$的值.

答案： 14.
(1)$\frac{2}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \sqrt{5} + \sqrt{3}$。
(2)$\because a = \frac{\sqrt{2} + 1}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \sqrt{2} + 1$，
$\therefore a - 1 = \sqrt{2}$。$\therefore a^{2} - 2a + 1 = 2$。$\therefore a^{2} - 2a = 1$。
$\therefore 3a^{2} - 6a = 3$。$\therefore 3a^{2} - 6a - 1 = 2$。