《2025年全优方案夯实与提高八年级数学下册浙教版》

1. 设一元二次方程$x^{2}+4x - 3 = 0$的两根为$x_1,x_2$，则$x_1x_2$的值是( )。
A. 4
B. -4
C. 3
D. -3

答案： 1.D

2. 一元二次方程$2x^{2}-3x + 4 = 0$的根的情况为( )。
A. 没有实数根
B. 两根之和是3
C. 两根之积是-2
D. 有两个不相等的实数根

答案： 2.A

3. 若方程$x^{2}-2x - 4 = 0$的两个实数根为$\alpha,\beta$，则$\alpha^{2}+\beta^{2}$的值为( )。
A. 12
B. 10
C. 4
D. -4

答案： 3.A

4. 已知关于$x$的方程$x^{2}-7x + 6a = 0$的一个解是$x_1 = 2a$，则原方程的另一个解是( )。
A. $x_2 = 0$或7
B. $x_2 = 3$或4
C. $x_2 = 3$或7
D. $x_2 = 4$或7

答案： 4.C

5. 设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$x^{2}-3x + k = 0$的两个根，且$x_1 = 2x_2$，则$k =$________。

答案： 5.2

6. 设$a,b$是方程$x^{2}+x - 2025 = 0$的两个实数根，则$(a - 1)(b - 1)$的值为________。

答案： 6.−2023

7. 设$x_1,x_2$是方程$2x^{2}+4x - 3 = 0$的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
(1)$(x_1 - x_2)^{2}$。 (2)$(x_1+\frac{1}{x_2})(x_2+\frac{1}{x_1})$。

答案： 7.根据根与系数的关系可得：$x_1 + x_2 = -2$，$x_1x_2 = -\frac{3}{2}$。
(1)$(x_1 - x_2)^2 = x_1^2 + x_2^2 - 2x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (-2)^2 - 4\times(-\frac{3}{2}) = 10$。
(2)$(x_1 + \frac{1}{x_2})(x_2 + \frac{1}{x_1}) = x_1x_2 + 1 + 1 + \frac{1}{x_1x_2} = (-\frac{3}{2}) + 2 + \frac{1}{(-\frac{3}{2})} = -\frac{1}{6}$。

8. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x - k = 0$有两个不相等的实数根。
(1)求$k$的取值范围。
(2)若方程的两个不相等的实数根是$a,b$，求$\frac{a}{a + 1}-\frac{1}{b + 1}$的值。

答案： 8.
(1)
∵方程有两个不相等的实数根，
∴$\Delta = b^2 - 4ac = 4 + 4k ＞ 0$，解得$k ＞ -1$。
∴$k$的取值范围是$k ＞ -1$。
(2)由根与系数关系得$a + b = -2$，$ab = -k$，
∴$\frac{a}{a + 1} - \frac{1}{b + 1} = \frac{ab - 1}{ab + a + b + 1} = \frac{-k - 1}{-k - 2 + 1} = 1$。